LImiti con termini equivalenti nella somma.
Ciao a tutti. Nel seguente limite
$lim_(x->0) (x+sin4x)/(x+sinx)$
E' possibile sostituire $sinx$ con $x$ qualunque per $x->0$ con $x$?
In questo modo quindi
$lim_(x->0) (x+4x)/(x+x)=lim_(x->0) (5x)/(2x)=5/2$. E' corretto questo procedimento?
$lim_(x->0) (x+sin4x)/(x+sinx)$
E' possibile sostituire $sinx$ con $x$ qualunque per $x->0$ con $x$?
In questo modo quindi
$lim_(x->0) (x+4x)/(x+x)=lim_(x->0) (5x)/(2x)=5/2$. E' corretto questo procedimento?
Risposte
Sì. Infatti attraverso il teorema del limite della somma si dimostra facilmente che
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + x}{5x} = 1 \]
(analogamente per la relazione asintotica \( \sin x + x \sim 2x \) per \( x \to 0 \)).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + x}{5x} = 1 \]
(analogamente per la relazione asintotica \( \sin x + x \sim 2x \) per \( x \to 0 \)).
E' corretto e in genere si usa.
Alternativamente...
Potresti raccogliere una bella $x$
$lim_(x->0) \frac{x(1+sin(4x)/x)}{x(1+sin(x)/x)}= lim_(x->0) \frac{1+sin(4x)/x}{1+sin(x)/x}$
in cui al numeratore si può moltiplicare e dividere per $4$ il termine $\sin(4x)/x$ per rapportarsi al limite notevole.
EDIT
Non avevo visto la risposta di Riccardo Desimini che comunque dice quanto ho detto anch'io a parte l'altra soluzione che ho dato.
Ho la brutta abitudine di rispondere e tenere per secoli la finestra "rispondi" aperta: poi quando clicco "invia" scopro che hanno risposto altri...
Alternativamente...
Potresti raccogliere una bella $x$
$lim_(x->0) \frac{x(1+sin(4x)/x)}{x(1+sin(x)/x)}= lim_(x->0) \frac{1+sin(4x)/x}{1+sin(x)/x}$
in cui al numeratore si può moltiplicare e dividere per $4$ il termine $\sin(4x)/x$ per rapportarsi al limite notevole.
EDIT
Non avevo visto la risposta di Riccardo Desimini che comunque dice quanto ho detto anch'io a parte l'altra soluzione che ho dato.
Ho la brutta abitudine di rispondere e tenere per secoli la finestra "rispondi" aperta: poi quando clicco "invia" scopro che hanno risposto altri...
Grazie a entrambi. 
Ma dividendo e moltiplicando per 4 diventa$lim_(x->0) \frac{x(1+sin(4x)/x)}{x(1+sin(x)/x)}= lim_(x->0) \frac{1+sin(4x)/x}{1+sin(x)/x}=lim_(x->0) \frac{1+4(sin(4x))/(4x)}{1+sin(x)/x} $
E poi?
"sleax":
E poi?
$\frac{sin(4x)}{4x}->1$ per $x->0$ per il limite notevole già citato.
Moltiplicare e dividere per $4$ serve apposta per rapportarsi a tale limite.
Ah, non l'avevo notato! Grazie mille!
Tieni presente che in generale questa operazione richiede cautela: considera ad esempio il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \]
Poiché non esiste nessuna funzione asintotica alla funzione nulla, il metodo non è applicabile. Sostituendo alla cieca, invece, ottieni proprio la funzione nulla a numeratore (e quindi un risultato sbagliato perché il limite vale in realtà \( \frac{1}{6} \)).
Il teorema del limite della somma in questo caso non ti dice nulla: infatti
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left ( \frac{1}{x^2} - \frac{\sin x}{x^3} \right ) \]
e quindi ti trovi nella forma di indecisione \( [\infty - \infty] \).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \]
Poiché non esiste nessuna funzione asintotica alla funzione nulla, il metodo non è applicabile. Sostituendo alla cieca, invece, ottieni proprio la funzione nulla a numeratore (e quindi un risultato sbagliato perché il limite vale in realtà \( \frac{1}{6} \)).
Il teorema del limite della somma in questo caso non ti dice nulla: infatti
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left ( \frac{1}{x^2} - \frac{\sin x}{x^3} \right ) \]
e quindi ti trovi nella forma di indecisione \( [\infty - \infty] \).
"Riccardo Desimini":
Tieni presente che in generale questa operazione richiede cautela: considera ad esempio il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \]
Tutte le operazioni con i limiti, in generale, richiedono cautela: sia sostituire $sin(x)$ con $x$ sia come ho fatto io raccogliere $x$ e altre cose simili. Se, però, non ci sono forme indeterminate di sorta, tutto ok.
Mah, sai, per me trovarsi in una forma di indecisione non è malvagio, perché non è un errore ma solo una condizione temporanea.
Quando parlavo di cautela mi riferivo al fatto di ricavare (attraverso un errato utilizzo dei teoremi) dei risultati che sono sbagliati, come nell'esempio che ho mostrato.
L'applicazione di cui sopra del teorema del limite della somma è semplicemente un modo per dire che lì il teorema non si applica e quindi non è che c'è un errore, ma piuttosto una strada che non porta a niente.
Quando parlavo di cautela mi riferivo al fatto di ricavare (attraverso un errato utilizzo dei teoremi) dei risultati che sono sbagliati, come nell'esempio che ho mostrato.
L'applicazione di cui sopra del teorema del limite della somma è semplicemente un modo per dire che lì il teorema non si applica e quindi non è che c'è un errore, ma piuttosto una strada che non porta a niente.
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