Limiti con taylor
lim e^senx + cosx -2(1 + senx/2) tutto fratto 3tgx - sin 3x
x->o
lim (1 + sen^2dix)^1/x - e^sinx tutto fratto x^3
chiedo se gentilmente qualcuno puo darmi una mano a risolvere questi limiti
x->o
lim (1 + sen^2dix)^1/x - e^sinx tutto fratto x^3
chiedo se gentilmente qualcuno puo darmi una mano a risolvere questi limiti
Risposte
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E' cosa gradita se scrivessi usando mathml, avresti piu' probabilità di una rapida risposta!
La guida la trovi in capo a quasi ogni sezione.
Ciauz!
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$ lim_{x to 0}e^sinx + cosx - 2(1 + sin (x/2)) //3tanx-sin3x$ questo limite dovrebbe venire 1/132 ma nn mi trovo qualcuno puo aiutarmi grazie
Sviluppando ,in serie di McLaurin arrestata alla derivata terza,ciascun termine della frazione
F di cui si vuole il limite si ha:
$e^(sinx)=1+x+(x^2)/2+o(x^2)$
$cosx=1-(x^2)/2+o(x^2)$
$sin(x/2)=x/2-(x^3)/(48)+o(x^3)$
$tanx=x+(x^3)/3+o(x^3)$
$sin3x=3x-9/2x^3+o(x^3)$
Sostituendo in F,con qualche semplificazione risulta:
$F=((x^3)/(24)+o(x^2))/((11)/2x^3+o(x^3))$
E passando al limite per x-->0 segue:
$lim_(x->0)F=1/(24)*2/(11)=1/(132)$
karl
F di cui si vuole il limite si ha:
$e^(sinx)=1+x+(x^2)/2+o(x^2)$
$cosx=1-(x^2)/2+o(x^2)$
$sin(x/2)=x/2-(x^3)/(48)+o(x^3)$
$tanx=x+(x^3)/3+o(x^3)$
$sin3x=3x-9/2x^3+o(x^3)$
Sostituendo in F,con qualche semplificazione risulta:
$F=((x^3)/(24)+o(x^2))/((11)/2x^3+o(x^3))$
E passando al limite per x-->0 segue:
$lim_(x->0)F=1/(24)*2/(11)=1/(132)$
karl
grazie mi servirebbe ancora un piccolo aiuto
$ lim_{x to 0}(1+sin^2x)^(1/x) - e^sinx//x^3$
vorrei capire come faccio la sostituzione quando tutto è elevato a $1/x$
il risultato viene -2/3
$ lim_{x to 0}(1+sin^2x)^(1/x) - e^sinx//x^3$
vorrei capire come faccio la sostituzione quando tutto è elevato a $1/x$
il risultato viene -2/3
sei sicuro di averlo scritto bene?? è tutto diviso $x3$ o $x^3$?
L' esercizio e' piuttosto calcoloso (se non impossibile) fatto
per via ordinaria.Forse sbaglio, ma penso che ci voglia qualche...acrobazia.
Premetto che,in un intorno dello zero e per McLaurin, e':
$ln(1+sin^2x)=x^2-5/6x^4+o(x^4)$
$(ln(1+sin^2x))/x=x-5/6x^3+o(x^3)$
$sinx=x-(x^3)/6+o(x^3)$
$xsinx=x^2-(x^4)/6+o(x^4)$
Osserviamo ora che il limite L richiesto si puo' scrivere al seguente modo:
$L=lim_(x->0)(e^(((ln(1+sin^2x))/x-sinx))-1)/(ln(1+sin^2x)/x-sinx)*((ln(1+sin^2x))/x-sinx)/(x^3)*e^(sinx)$
Il primo ed il terzo fattore di L tendono ad 1 ,l'uno perche' $lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ e l'altro
perche' $e^0=1$
Pertanto risulta:
$L=lim_(x->0)(ln(1+sin^2x)-xsinx)/(x^4)$
E per le premesse fatte:
$L=lim_(x->0)(x^2-5/6x^4-x^2+(x^4)/6+o(x^4))/(x^4)=-4/6=-2/3$
karl
Edit
In alternativa avrei trovato una strada piu' semplice.
Partiamo da :
$L=lim_(x->o)(e^(ln(1+sin^2x)/x)-e^(sinx))/(x^3)$
E per le premesse:
$L=lim_(x->0)(e^(x-5/6x^3+o(x^3))-e^(x-(x^3)/6+o(x^3)))/(x^3)$
Oppure:
$L=lim_(x->0)[-2/3*e^(x-(x^3)/6)*(e^(-2/3x^3)-1)/(-2/3x^3)]=-2/3$
per via ordinaria.Forse sbaglio, ma penso che ci voglia qualche...acrobazia.
Premetto che,in un intorno dello zero e per McLaurin, e':
$ln(1+sin^2x)=x^2-5/6x^4+o(x^4)$
$(ln(1+sin^2x))/x=x-5/6x^3+o(x^3)$
$sinx=x-(x^3)/6+o(x^3)$
$xsinx=x^2-(x^4)/6+o(x^4)$
Osserviamo ora che il limite L richiesto si puo' scrivere al seguente modo:
$L=lim_(x->0)(e^(((ln(1+sin^2x))/x-sinx))-1)/(ln(1+sin^2x)/x-sinx)*((ln(1+sin^2x))/x-sinx)/(x^3)*e^(sinx)$
Il primo ed il terzo fattore di L tendono ad 1 ,l'uno perche' $lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ e l'altro
perche' $e^0=1$
Pertanto risulta:
$L=lim_(x->0)(ln(1+sin^2x)-xsinx)/(x^4)$
E per le premesse fatte:
$L=lim_(x->0)(x^2-5/6x^4-x^2+(x^4)/6+o(x^4))/(x^4)=-4/6=-2/3$
karl
Edit
In alternativa avrei trovato una strada piu' semplice.
Partiamo da :
$L=lim_(x->o)(e^(ln(1+sin^2x)/x)-e^(sinx))/(x^3)$
E per le premesse:
$L=lim_(x->0)(e^(x-5/6x^3+o(x^3))-e^(x-(x^3)/6+o(x^3)))/(x^3)$
Oppure:
$L=lim_(x->0)[-2/3*e^(x-(x^3)/6)*(e^(-2/3x^3)-1)/(-2/3x^3)]=-2/3$
[size=200]$ lim_{x to 0} \frac{x - sin^2sqrt{x} - sin^2x} {x^2} \ $[/size]
qualcuno mi aiuta è urgente nn ho capito come devo sostituire quando c è la radice se qualcuno mi puo far vedere tutte lo sostituzione grazie urgente please
qualcuno mi aiuta è urgente nn ho capito come devo sostituire quando c è la radice se qualcuno mi puo far vedere tutte lo sostituzione grazie urgente please
$\sin(t) = t + o(t)$, sostituendo nel limite si trova
$\frac{x - (\sqrt{x})^2 - (x)^2}{x^2} = \frac{x - x - x^2}{x^2}$
quindi...
$\frac{x - (\sqrt{x})^2 - (x)^2}{x^2} = \frac{x - x - x^2}{x^2}$
quindi...
"Tipper":dovrebbe venire -2/3 mi puoi scrivere la sostitzione di $sin^2sqrt{x}$ tutti i passagi please
$\sin(t) = t + o(t)$, sostituendo nel limite si trova
$\frac{x - (\sqrt{x})^2 - (x)^2}{x^2} = \frac{x - x - x^2}{x^2}$
quindi...
Se deve venire $-\frac{2}{3}$ allora ho preso una cantonata gigantesca, in ogni caso, i passaggi (a quanto pare sbagliati) li ho scritti tutti.
Ho capito dove sbagliavo
$\sin(t) = t - \frac{t^3}{3!} + o(t^3)$
quindi
$\sin^2(x) = x^2 + o(x^2)$
$\sin^2(\sqrt{x}) = (\sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3!} + o(x^{\frac{3}{2}}))^2 = x + \frac{x^3}{(3!)^2} - \frac{x^2}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{3} + o(x^2)$
sostituendo nel limite si ottiene
$\lim_{x \to x_0} \frac{x - x + \frac{x^2}{3} - x^2 + o(x^2)}{x^2}$
$\sin(t) = t - \frac{t^3}{3!} + o(t^3)$
quindi
$\sin^2(x) = x^2 + o(x^2)$
$\sin^2(\sqrt{x}) = (\sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3!} + o(x^{\frac{3}{2}}))^2 = x + \frac{x^3}{(3!)^2} - \frac{x^2}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{3} + o(x^2)$
sostituendo nel limite si ottiene
$\lim_{x \to x_0} \frac{x - x + \frac{x^2}{3} - x^2 + o(x^2)}{x^2}$
"Tipper":
Ho capito dove sbagliavo
$\sin(t) = t - \frac{t^3}{3!} + o(t^3)$
quindi
$\sin^2(x) = x^2 + o(x^2)$
$\sin^2(\sqrt{x}) = (\sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3!} + o(x^{\frac{3}{2}}))^2 = x + \frac{x^3}{(3!)^2} - \frac{x^2}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{3} + o(x^2)$
sostituendo nel limite si ottiene
$\lim_{x \to x_0} \frac{x - x + \frac{x^2}{3} - x^2 + o(x^2)}{x^2}$
Dov'è che leggi $sinx^(3/2)$ ? 
Per lo sviluppo di $sin^(2)sqrtx$ ha usato il primo modello, quello in $t$ sostituendo $t=sqrtx$ e alla fine ha elevato al quadrato, perchè il seno è elevato al quadrato.
Nell'ultimo passaggio ha tolto il termine infinitesimo $x^3/6^2$ perchè è $o(x^3)$ cioè trascurabile nei calcoli per la precisione di cui si necessita.
Per lo sviluppo di $sin^(2)sqrtx$ ha usato il primo modello, quello in $t$ sostituendo $t=sqrtx$ e alla fine ha elevato al quadrato, perchè il seno è elevato al quadrato.
Nell'ultimo passaggio ha tolto il termine infinitesimo $x^3/6^2$ perchè è $o(x^3)$ cioè trascurabile nei calcoli per la precisione di cui si necessita.
$ lim_{x to 0} \frac {sin^2x - x^2 } { arctg^2x - log^2 (1 + x)\}
$ lim_{x to 0} \frac {arctg^2x - e^x + cosx + x} {tg^2x - log(1 + x^2)\}
$ lim_{x to 0} \frac {xe^x - aectgx^2 - x} {cos^2x + xlog(1+x) - 1\}
se qualcuno puo gentilmente postarmi le soluzioni di questi esercizi (nn avendole) per vedere se mi trovo grazie
$ lim_{x to 0} \frac {arctg^2x - e^x + cosx + x} {tg^2x - log(1 + x^2)\}
$ lim_{x to 0} \frac {xe^x - aectgx^2 - x} {cos^2x + xlog(1+x) - 1\}
se qualcuno puo gentilmente postarmi le soluzioni di questi esercizi (nn avendole) per vedere se mi trovo grazie
"deioo":
$ lim_{x to 0} \frac {sin^2x - x^2 } { arctg^2x - log^2 (1 + x)\}
$ lim_{x to 0} \frac {arctg^2x - e^x + cosx + x} {tg^2x - log(1 + x^2)\}
$ lim_{x to 0} \frac {xe^x - aectgx^2 - x} {cos^2x + xlog(1+x) - 1\}
se qualcuno puo gentilmente postarmi le soluzioni di questi esercizi (nn avendole) per vedere se mi trovo grazie
nn c è nessuno ke puo aiutarmi
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