Limiti con taylor
Scusate ho dei dubbi su come risolvere i limiti con taylor:
per es. $\lim_(x\to0){(e^x-sinx-cosx)/(e^(x^2)-e^(x^3))}$
Io ho fatto così ma non so se sia corretto (ometto il limite e scrivo solo il suo contenuto per brevità):
$(1+x+(x^2/2)+(x^3/6)+o(x^3)-x+(x^3/6)+o(x^3)-1+(x^2/2)+(x^4/(4!))+o(x^4) )/(1+x^2+o(x^2)-1-x^3+o(x^3))$
e quindi
$(x^2(1+(x/3)+o(x) ) ) / (x^2+o(x^2))$
e quindi ottengo che $\lim_(x\to0)f(x)=1$
Adesso arriviamo alla nota dolente: non riesco a capire come risolvere questo limite:
$\lim_(x\to0){ ((x^5e^(x^3)-log(1+x^5)) / (sqrt(1+x^4)-1)^2 }$
Ho provato così (riscrivo solo gli sviluppi per brevità):
$((x^5(1+x^3+o(x^3)) -x^5+o(x^5) )/( (2x^4)/(sqrt(1+x^4)+1)^2 ))$
e qui mi son bloccato purtroppo.
Come sempre grazie in anticipo a chi risponderà
per es. $\lim_(x\to0){(e^x-sinx-cosx)/(e^(x^2)-e^(x^3))}$
Io ho fatto così ma non so se sia corretto (ometto il limite e scrivo solo il suo contenuto per brevità):
$(1+x+(x^2/2)+(x^3/6)+o(x^3)-x+(x^3/6)+o(x^3)-1+(x^2/2)+(x^4/(4!))+o(x^4) )/(1+x^2+o(x^2)-1-x^3+o(x^3))$
e quindi
$(x^2(1+(x/3)+o(x) ) ) / (x^2+o(x^2))$
e quindi ottengo che $\lim_(x\to0)f(x)=1$
Adesso arriviamo alla nota dolente: non riesco a capire come risolvere questo limite:
$\lim_(x\to0){ ((x^5e^(x^3)-log(1+x^5)) / (sqrt(1+x^4)-1)^2 }$
Ho provato così (riscrivo solo gli sviluppi per brevità):
$((x^5(1+x^3+o(x^3)) -x^5+o(x^5) )/( (2x^4)/(sqrt(1+x^4)+1)^2 ))$
e qui mi son bloccato purtroppo.
Come sempre grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Sicuro che sia quello il limite da risolvere?
$lim_(x->0) x^5e^(x^3)=0$ quindi è irrilevante e non serve Taylor
$-lim_(x->0) ln(1+x^5)/x^5x^5/(x^4/2+o(x^4))^2=-1*4/x^3$
Lo so che l'ultimo passaggio è scorretto ma era per evidenziare l'ultimo rapporto, poichè il limite diverge a $+-oo$ a seconda che $lim_(x->0^(-+)$ (la potenza dispari mantiene il segno)
$lim_(x->0) x^5e^(x^3)=0$ quindi è irrilevante e non serve Taylor
$-lim_(x->0) ln(1+x^5)/x^5x^5/(x^4/2+o(x^4))^2=-1*4/x^3$
Lo so che l'ultimo passaggio è scorretto ma era per evidenziare l'ultimo rapporto, poichè il limite diverge a $+-oo$ a seconda che $lim_(x->0^(-+)$ (la potenza dispari mantiene il segno)
Scusa non mi ero accorto proprio dell'errore: è tutto il numeratore fratto quella radice al quadrato.Scusate era molto lungo da scrivere e mi son perso nel mentre
Ciao SteezyMenchi,
In questo caso oltre agli sviluppi in serie potrebbero essere utili anche i limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)-log(1+x^5))/(sqrt(1+x^4)-1)^2 = \lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)-log(1+x^5))/x^8 \cdot (x^4/(sqrt(1+x^4)-1))^2 = $
$ = \lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)- x^5 + x^5 - log(1+x^5))/x^8 \cdot 1/((sqrt(1+x^4)-1)/x^4)^2 = $
$ = [\lim_{x \to 0} (e^(x^3)- 1)/x^3 + \lim_{x \to 0} (1 - log(1+x^5)/x^5)/x^3] \cdot \lim_{x \to 0} 1/((sqrt(1+x^4)-1)/x^4)^2 = $
$ = [1 + 0] \cdot 1/(1/2)^2 = 4 $
In questo caso oltre agli sviluppi in serie potrebbero essere utili anche i limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)-log(1+x^5))/(sqrt(1+x^4)-1)^2 = \lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)-log(1+x^5))/x^8 \cdot (x^4/(sqrt(1+x^4)-1))^2 = $
$ = \lim_{x \to 0} (x^5e^(x^3)- x^5 + x^5 - log(1+x^5))/x^8 \cdot 1/((sqrt(1+x^4)-1)/x^4)^2 = $
$ = [\lim_{x \to 0} (e^(x^3)- 1)/x^3 + \lim_{x \to 0} (1 - log(1+x^5)/x^5)/x^3] \cdot \lim_{x \to 0} 1/((sqrt(1+x^4)-1)/x^4)^2 = $
$ = [1 + 0] \cdot 1/(1/2)^2 = 4 $
No è che l'esercizio, che consisteva nel calcolare diversi limiti simili a questo, dice esplicitamente di usare Taylor. Grazie comunque pilloeffe
Come ti ha già scritto Bokonon, puoi usare lo sviluppo per $a \in \mathbb{R}$ di $[1+f(x)]^a=1+af(x)+\text{o}[f(x)]$ quando $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$; perciò $\sqrt{1+x^4}=(1+x^4)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x^4+\text{o}(x^4)$ e quindi il tuo limite è uguale a
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^5[1+x^3+\text{o}(x^3)]-x^5+\text{o}(x^8)}{\frac{x^8}{4}+\text{o}(x^8)}=\lim_{x \to 0} \frac{x^8+\text{o}(x^8)}{\frac{x^8}{4}+\text{o}(x^8)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}}{\frac{1}{4}+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}}=4$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^5[1+x^3+\text{o}(x^3)]-x^5+\text{o}(x^8)}{\frac{x^8}{4}+\text{o}(x^8)}=\lim_{x \to 0} \frac{x^8+\text{o}(x^8)}{\frac{x^8}{4}+\text{o}(x^8)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}}{\frac{1}{4}+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}}=4$$
comunque ho capito dove sbagliavo: mi ero dimenticato che il $(1+x)^\alpha$ è anch'esso uno sviluppo noto e quindi ottengo:
$(x^5(1+x^3+(x^2/6)+o(x^6))-(x^5-(x^10/2)+o(x^10)))/( ((x^4/2)-(x^8/2)+o(x^8))^2 )$ e svolgendo
$(x^8+(x^10/2)+o(x^10))/((x^8/4)-(x^12/8)+o(x^12))$ da cui
$\lim_(x\to0)f(x)=1/(1/4)=4$
$(x^5(1+x^3+(x^2/6)+o(x^6))-(x^5-(x^10/2)+o(x^10)))/( ((x^4/2)-(x^8/2)+o(x^8))^2 )$ e svolgendo
$(x^8+(x^10/2)+o(x^10))/((x^8/4)-(x^12/8)+o(x^12))$ da cui
$\lim_(x\to0)f(x)=1/(1/4)=4$
Va bene, ma non c'è bisogno di sviluppare così tanto: l'ordine $8$ a numeratore non viene cancellato da alcun termine e a denominatore si cancella solo il termine costante $1$, quindi è sufficiente fermarsi al primo ordine non costante di ogni sviluppo.
Grazie mille Mephlip. Anche se alla fine c'ero riuscito ma purtroppo non so se si può chiudere un topic una volta risolto. Se vuoi posso anche eliminare il mio ultimo messaggio siccome ridondante oppure lasciarlo tanto ormai il topic è risolto.
Si l'avevo sviluppato di un ordine in più per essere sicuro tanto le cose in più si eliminano alla fine e non danno problemi
Prego! No macché, ci mancherebbe. Non credo causi nessun problema. Grazie comunque del pensiero!
"SteezyMenchi":
No è che l'esercizio, che consisteva nel calcolare diversi limiti simili a questo, dice esplicitamente di usare Taylor. Grazie comunque pilloeffe
Prego. Preciso comunque che ho utilizzato anche gli sviluppi in serie di Taylor in particolare per il limite seguente:
$ \lim_{x \to 0} (1 - log(1+x^5)/x^5)/x^3 = 0 $
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