Limiti con sviluppo di taylor
$lim_(xto0+)((1-cos^3x)(arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx)$
Allora questo limiti avevo pensato di risolverlo con gli sviluppi di taylor
$cos^3x=(1-x^2/2+o(x^2))^3=1-3x^2/2+o(x^2)$
$cos^2x=(1-x^2+o(x^2))^2=(1-x^2+o(x^2)$
dunque
$lim_(xto0+)((1-1+3x^2/2+o(x^2))(x^2+o(x^2)+x^2-x^4+o(x^4)))/((x^2-2x+2x)(x^2))$
$lim_(xto0+)((3x^2/2+o(x^2))(2x^2+o(x^2)))/x^4$
$lim_(xto0+)(3x^4+o(x^4))/x^4=3$
ditemi se è giusto come procedimento
Allora questo limiti avevo pensato di risolverlo con gli sviluppi di taylor
$cos^3x=(1-x^2/2+o(x^2))^3=1-3x^2/2+o(x^2)$
$cos^2x=(1-x^2+o(x^2))^2=(1-x^2+o(x^2)$
dunque
$lim_(xto0+)((1-1+3x^2/2+o(x^2))(x^2+o(x^2)+x^2-x^4+o(x^4)))/((x^2-2x+2x)(x^2))$
$lim_(xto0+)((3x^2/2+o(x^2))(2x^2+o(x^2)))/x^4$
$lim_(xto0+)(3x^4+o(x^4))/x^4=3$
ditemi se è giusto come procedimento
Risposte
Il risultato del limite è corretto, c'è giusto qualche imprecisione: per esempio nello sviluppo di $\cos^2 x$ al primo passaggio hai dimenticato un coefficiente $\frac{1}{2}$ e al denominatore hai omesso gli $o$-piccolo.
ok per $cos^2x$ ma al denominatore ho applicato i limiti notevoli per il $sinx$ lo posso fare oppure se uso taylor non posso usare i limiti notevoli?
Ciao lepre561,
In realtà considerando che $1 - cos^3 x = 1^3 - cos^3 x = (1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x) $ il limite proposto poteva essere risolto usando quasi ovunque i limiti notevoli ad eccezione del fattore fra parentesi al denominatore, che comunque è risolvibile facilmente anche con una sola applicazione della regola di de l'Hôpital e tenendo presente il limite notevole $ \lim_{x \to 0} (1 - cos x)/x = 0 $:
$\lim_{x \to 0^+} ((1-cos^3x)(arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx) = \lim_{x \to 0^+} ((1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x) x^2((arcsin^2x)/x^2+cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx) = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (1 - cos x)/x^2 \cdot ((1 + cos x + cos^2 x)((arcsin^2x)/x^2+cos^2x))/((1+2\cdot \frac{x - sinx}{x^2}))\cdot x/sin x = $
$ = 1/2 \cdot ((1 + 1 + 1)(1 + 1))/((1+2\cdot 0))\cdot 1 = 3 $
In realtà considerando che $1 - cos^3 x = 1^3 - cos^3 x = (1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x) $ il limite proposto poteva essere risolto usando quasi ovunque i limiti notevoli ad eccezione del fattore fra parentesi al denominatore, che comunque è risolvibile facilmente anche con una sola applicazione della regola di de l'Hôpital e tenendo presente il limite notevole $ \lim_{x \to 0} (1 - cos x)/x = 0 $:
$\lim_{x \to 0^+} ((1-cos^3x)(arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx) = \lim_{x \to 0^+} ((1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x) x^2((arcsin^2x)/x^2+cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx) = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (1 - cos x)/x^2 \cdot ((1 + cos x + cos^2 x)((arcsin^2x)/x^2+cos^2x))/((1+2\cdot \frac{x - sinx}{x^2}))\cdot x/sin x = $
$ = 1/2 \cdot ((1 + 1 + 1)(1 + 1))/((1+2\cdot 0))\cdot 1 = 3 $
ottima risoluzione... però ho un dubbio
al denominatore non posso fare $(x^2-2(sinx/x)*x+2x)=x^2-2x+2x=x^2$ ?
al denominatore non posso fare $(x^2-2(sinx/x)*x+2x)=x^2-2x+2x=x^2$ ?
"lepre561":
ottima risoluzione...
Grazie.
"lepre561":
...però ho un dubbio al denominatore non posso fare [...]
No. Perché? Ti è già stato spiegato diverse volte...
perchè se passo al limite deo passare al limite di tutto?
ma quindi al denominatore all'interno della parentesi hai diviso tutto per $x^2$
e hai scomposto $((x-sinx)/x^2)=(x/x)-(sinx/x)=(1-1)=0$?
ma quindi al denominatore all'interno della parentesi hai diviso tutto per $x^2$
e hai scomposto $((x-sinx)/x^2)=(x/x)-(sinx/x)=(1-1)=0$?
"lepre561":
perchè se passo al limite devo passare al limite di tutto?
Bravo, visto che lo sai?
"lepre561":
ma quindi al denominatore all'interno della parentesi hai diviso tutto per $x^2$
No, l'ho semplicemente raccolto dal fattore fra le parentesi tonde.
"lepre561":
e hai scomposto $(x−sinx)/x^2=(x/x)−(sinx/x) =(1−1)=0 $?
Tu c'hai 'na grossa crisi (cit. da Quelo: https://www.youtube.com/watch?v=Af3inUxYWeo)
Riguardati per bene i passaggi che hai scritto e rifletti...
Devi risolvere il limite seguente:
$\lim_{x \to 0^+} (x−sinx)/x^2 $
Come già spiegato, tale limite si può risolvere con gli sviluppi in serie oppure anche con la regola di de l'Hôpital ed il limite notevole già scritto nel mio post.
se sviluppassi con taylor dovrebbe venire $x^3/(6x^2)=0$
Infatti, a parte che ti sei dimenticato di scrivere $\lim_{x \to 0^+} $
D'altronde con l'altro metodo si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} (x−sinx)/x^2 \overset[H]{=} \lim_{x \to 0^+} (1−cos x)/(2x) = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} (1−cos x)/x = 1/2 \cdot 0 = 0 $
D'altronde con l'altro metodo si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} (x−sinx)/x^2 \overset[H]{=} \lim_{x \to 0^+} (1−cos x)/(2x) = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} (1−cos x)/x = 1/2 \cdot 0 = 0 $
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