Limiti con radice n

[valeriadifazio_2015]

Buongiorno non so calcolarlo \( \lim_{x\rightarrow oo} \sqrt[n]{\frac{2n^5+1}{1}} \)
Mi hanno detto che esiste una formula da usare in questi casi dove n diventa n+1 elevato alla potenza di n nel mio caso (n+1)^5.
Ma non la trovo da nessuna parte questa formula, vorrei sapere se esiste e qual'è se esiste altrimenti come posso proseguire l'es grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao valeria1,

Non capisco il senso di quell'$1$ a denominatore, ma per quanto riguarda la formula forse ti riferisci ad una delle seguenti:

$lim_{n \to +\infty} root[n](2n^5 + 1) = lim_{n \to +\infty} (2n^5 + 1)^{1/n} = lim_{n \to +\infty} e^{frac{ln(2n^5 + 1)}{n}} $

Il risultato del limite proposto è $1$.

[valeriadifazio_2015]

\( \lim_{x\rightarrow oo} \sqrt[n]{\frac{n^4+1}{1}} \) e diventa \( \lim_{x\rightarrow oo} [(n+1)^4+1]/n^4+1 \) il cui risultato è 1. Questo era un altro es fatto dove quellabformula usciva .

[Papercut]

Ciao, probabilmente intendi il criterio del rapporto per le successioni, anche se non quanto ti possa risultare utile.

[pilloeffe]

Riprendo questo post perché anche in questi casi è stato usato il 4° Teorema di Cesàro che afferma che se la successione $a_n $ è positiva $\AA n \in \NN $, se

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $

Nel primo caso in esame, posto $a_n := 2n^5 + 1 \implies a_{n+1} = 2(n + 1)^5 + 1 $ e quindi si ha:

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{2(n + 1)^5 + 1}{2n^5 + 1} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{2n^5 + 1} = 1 $

Nel secondo caso in esame, posto $a_n := n^4 + 1 \implies a_{n+1} = (n + 1)^4 + 1 $ e quindi si ha:

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{(n + 1)^4 + 1}{n^4 + 1} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{n^4 + 1} = 1 $