Limiti con o piccoli
Salve a tutti,
avrei alcune domande su l'applicazione dei limiti con gli o piccoli. Vorrei sapere se hanno senso le seguenti scritture e i loro risultati, purtroppo non trovo nulla guardando su internet.
siano $a$, $b$ $in$ $NN$
1.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(o(x^(a+b))$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(o(x^(4))$
2.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(o(x^(a))$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^4))/(o(x^(3))$
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(x^(a+b)$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(x^(4)$
4.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(x^(a)$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^4))/(x^(3)$
avrei alcune domande su l'applicazione dei limiti con gli o piccoli. Vorrei sapere se hanno senso le seguenti scritture e i loro risultati, purtroppo non trovo nulla guardando su internet.
siano $a$, $b$ $in$ $NN$
1.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(o(x^(a+b))$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(o(x^(4))$
2.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(o(x^(a))$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^4))/(o(x^(3))$
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(x^(a+b)$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(x^(4)$
4.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(x^(a)$
es. $\lim_{x \to \0}(o(x^4))/(x^(3)$
Risposte
1 & 2 & 3. Prova a costruirti qualche esempio. Quali sono delle funzioni $"o"(x^3)$ ed $"o"(x^4)$?
4. Usa la definizione di $"o"$.
4. Usa la definizione di $"o"$.
Queste sono le risposte che mi sono dato , il mio dubbio era se non stessi perdendo di generalità utilizzando come esempio solo le potenze. D'altronde però compaiono solo quelle negli sviluppi taylor.
1.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(o(x^(a+b))) =infty$
2.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(o(x^(a))) =0$
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(x^(a+b))$ è indeterminato
4.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(x^(a))=0$
1.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(o(x^(a+b))) =infty$
2.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(o(x^(a))) =0$
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^a))/(x^(a+b))$ è indeterminato
4.
$\lim_{x \to \0}(o(x^(a+b)))/(x^(a))=0$
I primi due no.
Il terzo ed il quarto ok.
Tuttavia, sapere cosa ti sei risposto è solo parzialmente rilevante.
Ciò che davvero interessa è capire perché hai dato quelle risposte.
Il terzo ed il quarto ok.
Tuttavia, sapere cosa ti sei risposto è solo parzialmente rilevante.
Ciò che davvero interessa è capire perché hai dato quelle risposte.
La mia risposta per la terza deriva dall'esempio
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(x^(5)$ che è $0$ se $o(x^3)=x^4$, $1$ se $o(x^3)=x^5$, $infty$ se $o(x^3)=x^6$
Ci sono tre casi possibili e quindi ha carattere indeterminato.
4.
Per questa ho pensato che gli $o(x^(a+b))$ sono potenze di x di esponente maggiore di $a$, e dunque $a+b$, $a+b+1$ e così via, che daranno risultato infinitesimo se confrontate con $x^a$. Come ulteriore giustificazione, si può scrivere $o(x^(a+b))$ come $(x^b)*o(x^a)$ e dunque il risultato del limite passa facilmente attraverso la definizione di $o$, aggiungendo anche un altro infinitesimo al numeratore che però non da luogo a forme indeterminate.
Rivedendo le risposte per i primi due , forse penso al fatto che potrebbero essere entrambi indeterminati. Difatti posso considerare un $x^c$ che sia $o$ sia del denominatore che del numeratore e mostrare l'indeterminatezza. Ad esempio, per i primi due esempi, sostituisco $o(x^3)$ e $o(x^4)$ con $x^10$, che è $o$ di entrambi e ottengo risultato $1$. Muovendomi leggermente, rimanendo tra gli $o$ di numeratore e denominatore, posso facilmente far venire il limite $0$ o $infty$.
Spero si capisca, l'ho scritto un po di fretta...
3.
$\lim_{x \to \0}(o(x^3))/(x^(5)$ che è $0$ se $o(x^3)=x^4$, $1$ se $o(x^3)=x^5$, $infty$ se $o(x^3)=x^6$
Ci sono tre casi possibili e quindi ha carattere indeterminato.
4.
Per questa ho pensato che gli $o(x^(a+b))$ sono potenze di x di esponente maggiore di $a$, e dunque $a+b$, $a+b+1$ e così via, che daranno risultato infinitesimo se confrontate con $x^a$. Come ulteriore giustificazione, si può scrivere $o(x^(a+b))$ come $(x^b)*o(x^a)$ e dunque il risultato del limite passa facilmente attraverso la definizione di $o$, aggiungendo anche un altro infinitesimo al numeratore che però non da luogo a forme indeterminate.
Rivedendo le risposte per i primi due , forse penso al fatto che potrebbero essere entrambi indeterminati. Difatti posso considerare un $x^c$ che sia $o$ sia del denominatore che del numeratore e mostrare l'indeterminatezza. Ad esempio, per i primi due esempi, sostituisco $o(x^3)$ e $o(x^4)$ con $x^10$, che è $o$ di entrambi e ottengo risultato $1$. Muovendomi leggermente, rimanendo tra gli $o$ di numeratore e denominatore, posso facilmente far venire il limite $0$ o $infty$.
Spero si capisca, l'ho scritto un po di fretta...
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