Limiti con maclaurin

[frab1]

ciao ragazzi!sto risolvendo un quesito sui limiti di un esame di analisi 1 della mia università il limite in cui mi sono imbattuto è risolubile mediante maclaurin..faccio sempre cosi,in quanto il nostro prof non ha mai spiegato taylor!e mi trovo sempre bene! la formula che uso è:

per$lim_(x->0)$ ho $f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2f''(0)x^2+1/3!f'''(0)x^3$ ...
nel mio caso ho:

$lim_(x->0)((1-e^(-5x^3))/x^3)$ con maclaurin i primi due termini sono nulli.. ma quando arrivo alla derivata seconda è un casino!!!!!potete spiegarmi se esiste un modo molto piu' rapido!!??

grazie

[frab1]

non disturbatevi sono riuscito ora!!avevo commesso un errore banale!!!scusate!

[ciampax]

Ti dico comunque una cosa: se intendi svolgere gli esercizi con Taylor calcolando ogni volta tutte le derivate e così via, allora sappi che in breve tempo impazzirai e sarai rinchiuso in una casa di cura!

[Zilpha]

quoto ciampax!

[frab1]

Con maclaurin intendi Ahah
In effetti...ma metodi più rapidi(e semplici?)

[ciampax]

No frab, intendo dire che se ti calcoli gli sviluppi facendo le derivate... tra tre secondi morirai! (Cit. Ken Il Guerriero). E te lo avevo scritto anche prima, ma si vede che non hai capito.

Allora te lo spiego molto più semplicemente: gli sviluppi di McLaurin non si calcolano facendo le derivate, ma usando gli sviluppi notevoli. Ad esempio, come calcoli lo sviluppo della funzione [tex]$f(x)=\log\left[1+\sin\left(e^{x^2}-1\right)\right]+\cos\left(\sqrt{1-3x^2}-1\right)$[/tex] nel punto $x=0$ arrestato al terzo ordine? Perché se ti metti a fare le derivate, la seconda di porta via 4 anni di vita e la terza ti seppelisce!

[frab1]

@ciamapax. Infatti non ne esco ni viene una derivata infinita!!!il problema e' che faccio fatica a ricondurmi ai limiti notevoli!:(
Come fare??

[ciampax]

Non ai limiti, ma agli sviluppi notevoli. Lo sai quali sono quelli delle funzioni [tex]$e^x,\ \log(1+x),\ \sin x,\ \cos x,\ (1+x)^\alpha$[/tex] in $x00$. E soprattutto: lo sai cosa dice il Teorema di Taylor????

[frab1]

No perché Taylor non l'abbiamo fatto!ci ha spiegato gli sviluppi di Maclaurin..

[ciampax]

Frab... per la cosa che hai appena detto, meriteresti la fustigazione alla colonna fino a che non sopraggiunga la morte! Il polinomio di Taylor di una funzione $f(x)$ derivabile $n$ volte in un punto $x_0$ è per definizione

[tex]$T_n[f(x)]=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$[/tex]

e nel caso in cui $x_0=0$ si parla di polinomio di McLaurin. A questo punto, ti chiedo: conosci gli sviluppi di McLaurin delle funzioni che ti ho scritto sopra?

[Zilpha]

"ciampax":Frab... per la cosa che hai appena detto, meriteresti la fustigazione alla colonna fino a che non sopraggiunga la morte!

Ma perchè accanirsi contro questo poverino?!?
comunque per Frab: mi pare davvero strano che il tuo prof parli dello sviluppo di Mc-Laurin senza fare minimo accenno a Taylor, sicuro di aver studiato la teoria?

[frab1]

Davvero pero' di Taylor non Ci ha parlato...Ci ha dato una serie di limiti che ha raggruppato sotto la dicitura "limiti fondamentali" insieme ai vari : $(sinx)/x=1 $ per x che tende a $0$ e via...
E so che per x che va a $0$:
$e^x=1+x$ (circa)
$arctanx=x$
$ln(1+x)=x$
$Sh(x)=x$
$Ch(x)=1$
$sin(x)=x$
$cos(x)=1$ tutti approssimati ovviamente..

Quindi basta che considero questi e li sostituisco nel limite che dovrei ottenere il risultato corretto?

[ciampax]

Quelli che hai scritto sono i "confronti asintotici" (o se vuoi gli sviluppi di McLaurin al primo ordine). In generale puoi scrivere molti più termini. Ad esempio

[tex]$e^x=\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!}+o(x^n)$[/tex]

Ti dice niente questa cosa?

[frab1]

No..mi sento uno stupido.. tutto quello che mi e' stato spiegato sugli sviluppi elementari e' la definizione di o piccolo ,la dimostrazione degli sviluppi di sin e cos e l elenco di quelle cose che ho scritto sopra,quasi fossero dogmi..totale pagine 4.. (con annessi limiti notevoli)!
Ora avevo un quesito..l'unico che non mi risultava..ho sostituito la x al sin e mi e' uscito perfettamente..

[Zilpha]

scusa frab, però non si può studiare solo dagli appunti, guarda che all'università non è come al liceo, i prof spesso se ne fregano e molte cose bisogna studiarsele da soli, APRENDO i libri. Comunque vedo che almeno gli sviluppi di seno e coseno dovresti conoscerli, per cui una volta che si conoscono gli sviluppi notevoli basta sostiuire la x come hai fatto. ora potresti cercare gli sviluppi notevoli di altre funzioni ricavandoli con la formula che conosci (se vuoi divertirti) oppure cercarli su un libro

[frab1]

Yes ma anche sul nostro programma non c'e lo studio degli sviluppi di Taylor!non sono prima il primo che passa per strada eh?!:) no comunque me li vedrò da solo!!buona giornata e grazie a tutti x l'attenzione!!