Limiti con $ \lim_{x\rightarrow 0} (sin (sin x)-arctan x)/( x^5arcsin (cos x)) $

[miry1909]

salve a tutti sto impazzendo con questo limite:

$ \lim_{x\rightarrow 0} (sin (sin x)-arctan x)/( x^5arcsin (cos x)) $

provando a risolverla..
$ arcsin (cos x)= pi/2 $

quindi:
$ 2/pi \lim_{x\rightarrow 0} (sin (sin x)-arctan x)/ x^5 $

ora è possibile dividerla in 2 limiti
$ 2/pi [\lim_{x\rightarrow 0} (sin (sin x))/ x^5 - \lim_{x\rightarrow 0}arctan x/ x^5] $

utilizzando i limiti notevoli:
$ \lim_{x\rightarrow 0} ((sin x))/ x =1 $

$ \lim_{x\rightarrow 0}arctan x/ x=1 $

dividendo e moltiplicando per sinx

si ottiene :
$ 2/pi [\lim_{x\rightarrow 0} (sin (sin x))/(sinx)sinx/x1/ x^4 - \lim_{x\rightarrow 0}arctan x/ x 1/x^4] $

da cui:
$ 2/pi [\lim_{x\rightarrow 0} 1/ x^4 - \lim_{x\rightarrow 0} 1/x^4] $

e qui mi perdo
cosa sbaglio?

scusate il disturbo e grazie per l'attenzione

[gugo82]

@ miri1909: Purtroppo col solo uso dei limiti notevoli non vai da nessuna parte, poiché ottieni delle informazioni che non riescono a sciogliere la forma indeterminata.
Infatti, ricordato che:
\[
\begin{split}
\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \quad &\Leftrightarrow \quad \sin y = y + \text{o}(y) \text{ per } y\to 0 \\
\lim_{y\to 0} \frac{\arctan y}{y} = 1 \quad &\Leftrightarrow \quad \arctan y = y + \text{o}(y) \text{ per } y\to 0
\end{split}
\]
hai:
\[
\sin \sin x = \sin x + \text{o} (\sin x) = x+\text{o}(x) + \text{o}(x+\text{o}(x)) = x+\text{o}(x) \text{ per } x\to 0
\]
e dunque:
\[
\sin \sin x -\arctan x = x+\text{o}(x) - \big( x +\text{o}(x)\big) = \text{o}(x)\; ,
\]
mentre \(\arcsin \cos x = \frac{\pi}{2} + \text{o}(1)\); in tal modo, per il principio di sostituzioone degli infinitesimi, il tuo limite è equivalente a:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{2}{\pi}\ \frac{\text{o}(x)}{x^5}
\]
che non può essere calcolato, perché l'informazione che hai sul numeratore non è sufficiente a dirimere la forma indeterminata.

Pertanto bisogna, come suggeriva TeM, usare altri metodi per risolvere l'esercizio.
La strada che ti consiglio di prendere è quella dello sviluppo di Taylor/MacLaurin.

[miry1909]

grazie raga...ignoravo il teorema e avevo letteralmente dimenticato gli sviluppi notevoli come mezzo per risolvere i limiti.
risolto...grazie:)