Limiti con i logaritmi
ciao ragazzi ho questo limite che ho risolto in parte
$\lim_{n \to \infty} (cos(1/n)-1)(ln(n^3-n))$
allora la prima parte tra parentesi è semplice infatti moltiplicando e dividendo per $n^2$ e con la sostituzione arriviamo al limite notevole del coseno cioe nel nostro caso $1/(2n^2)$ poi lavorando sul $ln$ e raccogliendo e sfruttando la proprieta del logaritmi arriviamo a scrivere:$1/(2n^2)[ln(n)+ln(n^2-1)]$ allora da qua in poi sorgono i dubbi sul come continuare allora io avrei fatto che essendo un limite di una funzione composta allora farei il limite degli argomenti del $ln$ pero considerando anche nel limite quel $1/(2n^2)$ ma qualcosa mi dice che questo modo e sbagliato anche perche il risultato finale deve essere zero e quindi il limite degli argomenti deve per forza portare a 1 quindi come lo risolvo ?? grazie anticipatamente
$\lim_{n \to \infty} (cos(1/n)-1)(ln(n^3-n))$
allora la prima parte tra parentesi è semplice infatti moltiplicando e dividendo per $n^2$ e con la sostituzione arriviamo al limite notevole del coseno cioe nel nostro caso $1/(2n^2)$ poi lavorando sul $ln$ e raccogliendo e sfruttando la proprieta del logaritmi arriviamo a scrivere:$1/(2n^2)[ln(n)+ln(n^2-1)]$ allora da qua in poi sorgono i dubbi sul come continuare allora io avrei fatto che essendo un limite di una funzione composta allora farei il limite degli argomenti del $ln$ pero considerando anche nel limite quel $1/(2n^2)$ ma qualcosa mi dice che questo modo e sbagliato anche perche il risultato finale deve essere zero e quindi il limite degli argomenti deve per forza portare a 1 quindi come lo risolvo ?? grazie anticipatamente
Risposte
per essere precisi,ci vuole un meno davanti all'argomento del limite
detto questo,è un fatto noto che $ lim_(x -> +infty) lnx/x=0 $
detto questo,è un fatto noto che $ lim_(x -> +infty) lnx/x=0 $
sisi infatti mi sono dimenticato di scriverlo il meno e dell' altro logaritmo invece ???
entrambi i limiti valgono zero
$ lim_(n rarr+infty) ln(n^2-1)/n^2=0;lim_(n -> +infty)lnn/n^2=0 $
$ lim_(n rarr+infty) ln(n^2-1)/n^2=0;lim_(n -> +infty)lnn/n^2=0 $
si ok ma come fai a dirlo su quale regoli ti basi se ti chiedessi la dimostrazione ??
avendosi $ lim_(n -> +infty) lnn/n=0 $ , a maggior ragione $ lim_(n -> +infty) lnn/n^2=0 $
aaaaaaaaaaaaah ho capito in poche parole hai usato diciamo la gerarchia degli infiniti allora ho capito è tutto ok cioè in poche parole il denominatore arriva "piu velocemente all infinito del numeratore " di conseguenza tende a zero
cmq grazie mille era una stupidaggine e non avevo pensato alla gerarchia degli infiniti
Ciao alessandrof10 
Come correttamente spiegato da stormy lo si può notare subito con la gerarchia degli infiniti che $\lim_{n \to +oo} {\ln n} / n^2 = 0$. Se volessi essere più rigoroso puoi riscrivere il suddetto limite nel modo seguente: $\lim_{n \to +oo} {\ln n} / n^2 = \lim_{n \to +oo} {\ln n} / n \cdot 1 / n$. Ora tenendo conto che la prima parte è il limite notevole di cui abbiamo parlato e che $\lim_{n \to +oo} 1 / n = 0$ facilmente ricavi che tale limite vale $0$.

Come correttamente spiegato da stormy lo si può notare subito con la gerarchia degli infiniti che $\lim_{n \to +oo} {\ln n} / n^2 = 0$. Se volessi essere più rigoroso puoi riscrivere il suddetto limite nel modo seguente: $\lim_{n \to +oo} {\ln n} / n^2 = \lim_{n \to +oo} {\ln n} / n \cdot 1 / n$. Ora tenendo conto che la prima parte è il limite notevole di cui abbiamo parlato e che $\lim_{n \to +oo} 1 / n = 0$ facilmente ricavi che tale limite vale $0$.