Limiti con forme indeterminate e stime asintotiche

[simona952]

Salve a tutti, a breve ho un esami di analisi 1 e tra i vari esercizi c'è la risoluzione di un limite che mi si presenta veramente complicato se non ricondotto a limiti notevoli in quando mi spunta sempre una forma indeterminata oppure provando a usare de l'hopital ma i passaggi successivi si complicano di molto. Provo a propormi un limite e le 4 possibilità di risposte per capire come si facilita la risoluzione con la sostituzione di stime asintotiche?
$ lim_(x -> infinito) (1-(1+arcsin(log^2(x)/x^3))^(1/7))/(e^(log^2(x)/x^4)-1) $ x tende ad infinito
le soluzioni sono:
1. 0
2. -1/7
3.infinito
4.- infinito

io ho provato con l'hopital ma viene una cosa contorta e sempre indeterminata. Poi avevo pensato alle serie di taylor ma l'argomento della funzione arcoseno è troppo complesso.
Vi ringrazio in anticipo.

[dan952]

Benvenuta nel forum

Ti consiglierei di levarti la radice sette-esima, si ma in che modo?
Ricordi il prodotto notevole $a^7-b^7=(a-b)(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)$, nel tuo caso $a=1$ e $b=\root{7}(1+\arcsin((\ln(x))^2/x^3))$

Il passo successivo è ricordare i due limiti notevoli
$\lim_{x \rightarrow 0}\arcsin(x)/x=1$
$\lim_{x \rightarrow 0} (e^x-1)/x=1$

Spero di essere stato chiaro.

P.s. + infinito si scrive $\ +\infty \$ senza sbarre.

[simona952]

Grazie mille sulla scomposizione della radice è stato chiarissimo, ma come faccio a utilizzare i limiti notevoli se la x tende ad infinito invece che a zer?

[dan952]

Nel nostro limite dentro $\arcsin$ c'è $(\ln(x))^2/x^3$ e questo tende per $x \rightarrow +\infty$, a zero, dunque in un intorno di $+\infty$ $\arcsin((\ln(x))^2/x^3)$ va come $(\ln(x))^2/x^3$, o meglio $\arcsin((\ln(x))^2/x^3)~(\ln(x))^2/x^3$. Idem per il denominatore.