Limiti con forma indeterminata

[fede-1244]

ciao a tutti! qualcuno può aiutarmi nello svolgimento di questi limiti aventi logaritmo e esponenziale? non so proprio Come trattarli

1- lim. x[e^1/x-log(1+1/x)-1]
x->∞.



2-lim. x[log(x^2+x)-log(x^2+5x)]
x->∞


Grazie in anticipo!

[marco2132k]

Dovresti usare le formule. Così il limite che devi calcolare viene fuori
\[
\lim_{x\to \infty}{x\left(e^{\frac{1}{x}} - \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) - 1\right)}\text{.}
\]

Ciò detto, l'argomento del logaritmo ti sta urlando che forse centra il limite notevole
\[
e = \lim_{x\to +\infty}{\left(1 + \frac 1x\right)}^x\text{.}
\] Inoltre, occhio che moltiplicare per \( x \) è la stessa cosa di dividere per \( 1/x \).

[pilloeffe]

Ciao fede-1244,

Benvenuto/a sul forum!

Ipotizzo che il primo limite proposto sia il seguente:

$ \lim_{x \to +infty} x[e^{1/x}-log(1+1/x)-1] = \lim_{x \to +infty} [e^{1/x} - 1 - log(1+1/x)]/(1/x) $

Se adesso poni $t := 1/x $ dovresti riuscire a ricondurti a limiti notevoli che conosci bene ed ottenere il risultato che è $0$

Il secondo limite proposto è il seguente:

$ \lim_{x \to +infty} x[log(x^2+x)-log(x^2+5x)] = \lim_{x \to +infty} [log(x^2+x)-log(x^2+5x)]/(1/x) $

Raccogliendo $x^2 $ nell'argomento dei due logaritmi e ponendo sempre $t := 1/x $ dovresti riuscire a ricondurti a limiti notevoli che conosci ed ottenere il risultato $1 - 5 = - 4 $

[fede-1244]

Grazie mille, i limiti notevoli sono un pò difficili da ricordare per me ma applicando de l'Hopital alla forma 0/0 sono arrivata comunque al risultato, grazie dei chiarimenti

[Bokonon]

Ciao fede-1244
Ti capiterà, al 99,9999%, che ti chiedano di risolvere un limite SENZA usare de l'Hopital.
Scriviti su un quaderno i limiti notevoli e poi giocaci un poco con qualche sostituzione di variabili per vedere come cambiano. Non solo ne rafforzerai la memoria ma acquisirai un colpo d'occhio per riportare i limiti da risolvere nella forma corretta.

Non contare solo su de l'Hopital (anche perchè ci sono limiti in cui l'applicazione del teorema ti riporta infinite volte alla medesima forma indeterminata).

[pilloeffe]

@fede-1244

"Bokonon":Ti capiterà, al 99,9999%, che ti chiedano di risolvere un limite SENZA usare de l'Hopital.

Sono completamente d'accordo con Bokonon, tant'è vero che avevo dato per scontato che ti fosse stato chiesto proprio ciò che ha scritto...
Ti riporto anche i diversi passaggi, in modo che tu abbia almeno questi due esercizi come riferimento, perché i limiti notevoli sono comunque importanti anche per risolvere limiti non così semplici come ad esempio questo:

$ \lim_{x \to +infty} x[e^{1/x}-log(1+1/x)-1] = \lim_{x \to +infty} [e^{1/x} - 1 - log(1+1/x)]/(1/x) = $
$ = \lim_{x \to +infty} (e^{1/x} - 1)/(1/x) - \lim_{x \to +infty}[log(1+1/x)]/(1/x) = \lim_{t \to 0} (e^t - 1)/t - \lim_{t \to 0}[log(1+t)]/t = 1 - 1 = 0 $


$ \lim_{x \to +infty} x[log(x^2+x)-log(x^2+5x)] = \lim_{x \to +infty} [log(x^2+x)-log(x^2+5x)]/(1/x) = $
$ = \lim_{x \to +infty} (log[x^2(1+1/x)]-log[x^2(1+5/x)])/(1/x) = $
$ = \lim_{x \to +infty} [log(x^2) + log(1+1/x) -log(x^2) - log(1+5/x)]/(1/x) = $
$ = \lim_{x \to +infty} [log(1+1/x) - log(1+5/x)]/(1/x) = \lim_{x \to +infty} [log(1+1/x)]/(1/x) - \lim_{x \to +infty} [log(1+5/x)]/(1/x) = $
$ = \lim_{t \to 0} [log(1+t)]/t - 5 \cdot \lim_{t \to 0} [log(1+5t)]/(5t) = 1 - 5 \cdot 1 = - 4 $

[fede-1244]

"Bokonon":Ciao fede-1244
Ti capiterà, al 99,9999%, che ti chiedano di risolvere un limite SENZA usare de l'Hopital.
Scriviti su un quaderno i limiti notevoli e poi giocaci un poco con qualche sostituzione di variabili per vedere come cambiano. Non solo ne rafforzerai la memoria ma acquisirai un colpo d'occhio per riportare i limiti da risolvere nella forma corretta.

Non contare solo su de l'Hopital (anche perchè ci sono limiti in cui l'applicazione del teorema ti riporta infinite volte alla medesima forma indeterminata).

Ho fatto come mi avete consigliato e mi sono trovata molto meglio!!, grazie del consiglio <3