Limiti con fattoriali

[Amartya]

Salve ho questo esercizio sui limiti che non riesco ad essere certo del risultato.

il limite è il seguete:

$\lim_{n \to \infty}(((n+1)*!)/(n! -sin(n)))$ utilizzando il metodo de confronto e conoscendo i rapporti tra infiniti il limite dovrebbe essere oscillante tra $-1, +1$

perchè il limite che tende ad infinito del seno oscilla appunto tra $-1, +1$

Ma non sono sicuro

Grazie

Emanuele

[maurer]

No. Il limite è [tex]+\infty[/tex]. Infatti
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n! - \sin(n)} = \lim_{n \to +\infty} (n+1) \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sin(n)}{n!}} = +\infty[/tex]

[Amartya]

"maurer":No. Il limite è [tex]+\infty[/tex]. Infatti
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n! - \sin(n)} = \lim_{n \to +\infty} (n+1) \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sin(n)}{n!}} = +\infty[/tex]

Ciao Grazie dell'aiuto.

Ho gli ulteriori seguenti limiti

$\lim_{n \to +\infty} ((n!-1)/((n+1)!))*sin(n)$

$\lim_{n \to +\infty} ((1 - cos(\pi*n))^(((-1)^(n))*(n)))$

$\lim_{n \to +\infty} ((1 - cos(\pi*n))^(((-1)^(n))*(n))*sin(n))

Del primo dopo alcuni calcoli ho trovato che dovrebbe venire:


$\lim_{n \to +\infty} ((sin(n))/((n+1))-(sin(n))/((n!)*(n+1)))$

$((sin(n))/((n!)*(n+1)))$ tende a $0$ per $n$ che tende a $+\infty$

Anche $((sin(n))/((n+1)))$ tende a $0$ per $n$ che tende a $+\infty$

Infatti se moltiplico e divido per $n$ il numeratore ottengo $(0*n)/(n+1)$

Degli altri due, invece dato il fatto che $cos(n)$ oscilla tra $+-1$, anche se elevato a $+\infty$ e quindi $1-cos(\pi*n)$ dovrebbe oscillare tra $+-1$

Non so voi che dite?

Grazie

[ghiozzo1]

Riguardo al primo: è corretto. Una strada più breve sarebbe stata ragionare solo sul primo fattore senza scomodare $sin(n)$. Il primo fattore infatti potevi facilmente semplificarlo in $1/(1+n)$ e questo tende a $0$. Il seno oscilla tra $-1$ e $1$ e quindi il limite totale fa 0.

Negli altri due la forma $(-1)^n$ impone di distinguere 2 casi: prima consideri gli n pari e poi gli n dispari. Se in entrambi i casi i limiti sono uguali, allora il limite esiste ed è proprio quello, altrimenti il limite non esiste.

[Amartya]

"ghiozzo":Riguardo al primo: è corretto. Una strada più breve sarebbe stata ragionare solo sul primo fattore senza scomodare $sin(n)$. Il primo fattore infatti potevi facilmente semplificarlo in $1/(1+n)$ e questo tende a $0$. Il seno oscilla tra $-1$ e $1$ e quindi il limite totale fa 0.

Negli altri due la forma $(-1)^n$ impone di distinguere 2 casi: prima consideri gli n pari e poi gli n dispari. Se in entrambi i casi i limiti sono uguali, allora il limite esiste ed è proprio quello, altrimenti il limite non esiste.

Ciao grazie delle risposte.

Stavo proprio risolvendo gli altri 2 del 1° notavo che $(1 - cos\pin)$ oscilla tra $0$ e $2$, $0$ quando $n$ è pari $2$ quando $n$ è dispari, considerando tutta l'espressione del limite se $n$ è pari abbiamo $0^(n) = 0$ , altrimenti una frazione il cui valore diminuisce all'aumentare di $n$ per cui tende a $0$ quindi direi che il limite è proprio $0$


del 2° verrebbe $0$ moltiplicato $-1,1$ e quindi sempre $0$

[ghiozzo1]

sì, dovrebbe essere proprio così