$!$ Limiti con Fattoriali $!$

[Flamber]

è la prima volta che mi imbatto in dei limiti con i fattoriali:

$lim((n+2)!-2^n)/((nsin(n)-2n^2)n)$

e

$lim((n+1)!+2^n)/((2n^2+2n)(n-1)!)$

con $ninNN$

Ho iniziato con il trascurare il 2 nella parentesi del fattoriale, ma poi non riesco ad andare avanti, anche considerando che l'ordine di infinito di $n!$ è minore solo di $n^n$

[Noisemaker]

npn puo trascurare il $2$ dentro il fattoriale! per definizione di fattoriale hai che:
\[(n+2)!=[(n+1)+1)]!=(n+1)!(n+1+1)=n!(n+2)(n+1)\]
quindi
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+2)!-2^n}{(n\sin n-2n^2) n}&=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!(n+2)(n+1)-2^n}{(n\sin n-2n^2) n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!\left( (n+2)(n+1) -\frac{2^n}{n!}\right)}{n^2\left(\frac{\sin n}{n }-2 \right) n}\\
&\sim \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\cdot n! }{-2n^3 }=\lim_{n\to+\infty}\frac{ n! }{-2n }=-\infty
\end{align}

[Flamber]

Grazie, non conoscevo questa proprietà dei fattoriali, il mio libro non la tratta, probabilmente la da per scontata.

[Noisemaker]

discende dalla definizione di fattoriale!
\[n! := \left\{ \begin{matrix}1 \quad&&\mbox{se } n=0;\\n(n-1)! &&\mbox{se } n\ge1~.\end{matrix} \right. \]

dove al posto di $n$ metti $n+1$

[Flamber]

e nel caso ci sia un numero negativo invece?

Tipo $(n-1)!$ ?

[Noisemaker]

sempre la definizione, dove al posto di $n$ metti $n-1$;

come nel tuo secondo limite:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)!+2^n}{(2n^2+2n)(n-1)!}&=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!(n+1) +2^n}{(2n^2+2n)(n-1)!}= \lim_{n\to+\infty}\frac{n (n+1)(n-1)! +2^n}{2n^2 (n-1)!}\\
&\sim \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2 (n-1)! +2^n}{2n^2 (n-1)!}= \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2 (n-1)! }{2n^2 (n-1)!}+\frac{ 2^n}{2n^2 (n-1)!}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}