Limiti con due variabili e teorema del confronto
Buongiorno a tutti,
volevo analizzare un esercizio riguardo il calcolo di limiti in due variabileitramite l'utilizzo del teorema del confronto, quindi per maggiorazione/minorazione.
Ho diversi dubbi al riguardo sul procedimento appunto di maggiorazione, in dettaglio:
1) $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^4/(x^2+y^2) = 0 $
Dopo aver verificato (per restrizioni) che se il limite esiste è uguale a 0, dimostriamo che esiste, utilizzando il teorema del confronto, per cui:
$ 0 <= lim_((x,y) -> (0,0)) |x^4/(x^2+y^2)| <= 0$
Supponendo che a sinistra abbia 0, sostanzialmente devo invece trovare a destra una funzione il cui limite in $0,0$ mi dia 0: questa è la maggiorazione.
Se io pongo: $x^4 - y^4$ come numeratore (al posto di solamente $x^4$), ottengo:
$|(x^4 - y^4)/(x^2+y^2)|$, che, semplificando: $|x^2-y^2|$
Calcolando il limite di questa nuova 'funzione maggiorante'...
$ lim_((x,y) -> (0,0)) |x^2-y^2| = 0 $
e quindi dimostro che il limite di partenza esiste ed è 0, visto che i due limiti delle funzioni che lo 'circondano' sono entrambi 0.
È un valido procedimento?
volevo analizzare un esercizio riguardo il calcolo di limiti in due variabileitramite l'utilizzo del teorema del confronto, quindi per maggiorazione/minorazione.
Ho diversi dubbi al riguardo sul procedimento appunto di maggiorazione, in dettaglio:
1) $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^4/(x^2+y^2) = 0 $
Dopo aver verificato (per restrizioni) che se il limite esiste è uguale a 0, dimostriamo che esiste, utilizzando il teorema del confronto, per cui:
$ 0 <= lim_((x,y) -> (0,0)) |x^4/(x^2+y^2)| <= 0$
Supponendo che a sinistra abbia 0, sostanzialmente devo invece trovare a destra una funzione il cui limite in $0,0$ mi dia 0: questa è la maggiorazione.
Se io pongo: $x^4 - y^4$ come numeratore (al posto di solamente $x^4$), ottengo:
$|(x^4 - y^4)/(x^2+y^2)|$, che, semplificando: $|x^2-y^2|$
Calcolando il limite di questa nuova 'funzione maggiorante'...
$ lim_((x,y) -> (0,0)) |x^2-y^2| = 0 $
e quindi dimostro che il limite di partenza esiste ed è 0, visto che i due limiti delle funzioni che lo 'circondano' sono entrambi 0.
È un valido procedimento?
Risposte
Non è che lo supponi, essendo un limite di quantità non negativa (valore assoluto) allora è non negativo; perciò la stima dal basso la hai già ed è $0$.
Ma molto più semplicemente avresti potuto notare che $x^2+y^2 \geq x^2$, perciò $\frac{1}{x^2+y^2} \leq \frac{1}{x^2}$
Perciò hai anche $\frac{x^4}{x^2+y^2} \leq \frac{x^4}{x^2}=x^2$, ed $x^2$ tende a $0$ per $x \to 0$.
(Ho omesso i valori assoluti in quanto sono tutte quantità non negative).
Comunque non sono convintissimo quando sottrai $y^4$, a causa del valore assoluto: mi viene da pensare che non sia giusto perché $a
Ma molto più semplicemente avresti potuto notare che $x^2+y^2 \geq x^2$, perciò $\frac{1}{x^2+y^2} \leq \frac{1}{x^2}$
Perciò hai anche $\frac{x^4}{x^2+y^2} \leq \frac{x^4}{x^2}=x^2$, ed $x^2$ tende a $0$ per $x \to 0$.
(Ho omesso i valori assoluti in quanto sono tutte quantità non negative).
Comunque non sono convintissimo quando sottrai $y^4$, a causa del valore assoluto: mi viene da pensare che non sia giusto perché $a
Grazie a tutti!
E nel caso in cui volessi dimostrare questo limite?
$ lim_(x,y -> 0,0) sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))=0 $
Sempre per il teorema del confronto, dovrei trovare una funzione (più grande della mia funzione di partenza) il cui limite che tende a $(0,0)$ sia uguale a 0.
$ | sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))| = sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))x^2/x^2 = sin^2x/x^2 x^2/(sqrt(x^2+8y^2)) $
dove: $sin^2x/x^2$ tende a $1$
Devo quindi "maggiorare" questa parte: $x^2/(sqrt(x^2+8y^2))$ ?
Non riesco proprio a capire...
E nel caso in cui volessi dimostrare questo limite?
$ lim_(x,y -> 0,0) sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))=0 $
Sempre per il teorema del confronto, dovrei trovare una funzione (più grande della mia funzione di partenza) il cui limite che tende a $(0,0)$ sia uguale a 0.
$ | sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))| = sin^2x/(sqrt(x^2+8y^2))x^2/x^2 = sin^2x/x^2 x^2/(sqrt(x^2+8y^2)) $
dove: $sin^2x/x^2$ tende a $1$
Devo quindi "maggiorare" questa parte: $x^2/(sqrt(x^2+8y^2))$ ?
Non riesco proprio a capire...
Qui hai la stima classica $| \sin t | \leq |t|$; quindi, con ragionamenti simili al mio post precedente, risulta $\frac{1}{\sqrt{x^2+8y^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{1}{|x|}$.
Dunque mettendo insieme hai
$$\frac{\sin^2 x}{\sqrt{x^2+8y^2}} \leq \frac{|x|^2}{|x|}=|x|$$
E $|x| \to 0$ se (e solo se) $x \to 0$.
Dunque mettendo insieme hai
$$\frac{\sin^2 x}{\sqrt{x^2+8y^2}} \leq \frac{|x|^2}{|x|}=|x|$$
E $|x| \to 0$ se (e solo se) $x \to 0$.
Ho capito, grazie mille!
Ti chiedo infine una cosa (forse) impossibile: esiste da qualche parte una lista con tutte le stime classiche del tipo di $| \sin t | \leq |t|$ ? Per esempio con il coseno, con la tangente, ecc?
O magari un link con esercizi di questo tipo (qui sul forum non ne trovo).
Grazie!
Ti chiedo infine una cosa (forse) impossibile: esiste da qualche parte una lista con tutte le stime classiche del tipo di $| \sin t | \leq |t|$ ? Per esempio con il coseno, con la tangente, ecc?
O magari un link con esercizi di questo tipo (qui sul forum non ne trovo).
Grazie!
Come ti ha già risposto arnett, le stime (a parte, appunto, i casi classici) sono una di quelle cose "non standard"; si fanno con l'esperienza e con occhio.
Certo, caratteristiche come la monotonia di una funzione possono essere utili (infatti ho usato la monotonia della radice quadrata, la monotonia del reciproco e il fatto che fossero tutte quantità positive all'interno della radice).
Per quanto riguarda le stime "classiche", si dimostrano tutte con lo studio di funzione.
Per quella del seno ti basta considerare la funzione differenza $f(x):=x-\sinx$ per $x\geq0$ e studiarla; il caso per $x<0$ è analogo e quindi si compatta tutto col valore assoluto.
Per esercizio, prova a dimostrare che $\ln(1+x) \leq x$ per $x> -1$ studiando la funzione differenza $g(x):=x-\ln(1+x)$.
Certo, caratteristiche come la monotonia di una funzione possono essere utili (infatti ho usato la monotonia della radice quadrata, la monotonia del reciproco e il fatto che fossero tutte quantità positive all'interno della radice).
"erroreconcettuale":
Ti chiedo infine una cosa (forse) impossibile: esiste da qualche parte una lista con tutte le stime classiche del tipo di $| \sin t | \leq |t|$ ? Per esempio con il coseno, con la tangente, ecc? !
Per quanto riguarda le stime "classiche", si dimostrano tutte con lo studio di funzione.
Per quella del seno ti basta considerare la funzione differenza $f(x):=x-\sinx$ per $x\geq0$ e studiarla; il caso per $x<0$ è analogo e quindi si compatta tutto col valore assoluto.
Per esercizio, prova a dimostrare che $\ln(1+x) \leq x$ per $x> -1$ studiando la funzione differenza $g(x):=x-\ln(1+x)$.
Ma esiste un chiamiamolo 'metodo standard' per trovare una maggiorazione alla funzione di partenza?
Perchè, per esempio:
$ lim_(x,y -> 0,0) (x^3y)/(x^4+x^2) = 0 $
Per dimostrare questo limite, applico il teorema del confronto e cerco la funzione maggiore a quella di partenza:
$ 0<|(x^3y)/(x^4+x^2)| < |(x^3y)/(x^4+x^2)|= (|x|x^2|y|)/(x^4+y^2) $
E adesso?
Per il denominatore posso dire che $ 1/(x^4+y^2)< 1/(y^2)$
Ma per il numeratore? Suppongo io debba aggiungere una quantità... Ma quale? E perchè?
Proprio operativamente mi perdo, non ho uno schema da seguire e mi blocco: in che modo pratico attuo la maggiorazione?
Perchè, per esempio:
$ lim_(x,y -> 0,0) (x^3y)/(x^4+x^2) = 0 $
Per dimostrare questo limite, applico il teorema del confronto e cerco la funzione maggiore a quella di partenza:
$ 0<|(x^3y)/(x^4+x^2)| < |(x^3y)/(x^4+x^2)|= (|x|x^2|y|)/(x^4+y^2) $
E adesso?
Per il denominatore posso dire che $ 1/(x^4+y^2)< 1/(y^2)$
Ma per il numeratore? Suppongo io debba aggiungere una quantità... Ma quale? E perchè?
Proprio operativamente mi perdo, non ho uno schema da seguire e mi blocco: in che modo pratico attuo la maggiorazione?
Io personalmente farei due sostituzioni: la prima è porre $y=u^2$, così da ottenere
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3y}{x^4+y^2}=\lim_{(x,u) \to (0,0)} \frac{x^3u^2}{x^4+u^4}$$
Passerei poi in polari, ponendo $x=\rho \cos \theta$ ed $u=\rho \sin \theta$: risulta
$$\lim_{(x,u) \to (0,0)} \frac{x^3u^2}{x^4+u^4}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta}{\rho^4}=\lim_{\rho \to 0^+} \rho \cos^3 \theta \sin^2 \theta$$
E concludi col confronto, stimando $|\cos^3 \theta \sin^2 \theta|\leq1$.
Attenzione alla prima sostituzione: avendo posto $y=u^2$, perdi informazioni sulle $y$ negative; come risolvi?
Come detto prima: non esiste. O meglio, diventa "automatico" quando hai appreso il costrutto che determinate funzioni si stimano in quella maniera; ma non sempre funziona e, soprattutto, i contesti non sono mai sempre gli stessi.
Bisogna mettersi l'anima in pace e capire
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3y}{x^4+y^2}=\lim_{(x,u) \to (0,0)} \frac{x^3u^2}{x^4+u^4}$$
Passerei poi in polari, ponendo $x=\rho \cos \theta$ ed $u=\rho \sin \theta$: risulta
$$\lim_{(x,u) \to (0,0)} \frac{x^3u^2}{x^4+u^4}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta}{\rho^4}=\lim_{\rho \to 0^+} \rho \cos^3 \theta \sin^2 \theta$$
E concludi col confronto, stimando $|\cos^3 \theta \sin^2 \theta|\leq1$.
Attenzione alla prima sostituzione: avendo posto $y=u^2$, perdi informazioni sulle $y$ negative; come risolvi?
"erroreconcettuale":
Ma esiste un chiamiamolo 'metodo standard' per trovare una maggiorazione alla funzione di partenza?
...
Proprio operativamente mi perdo, non ho uno schema da seguire e mi blocco: in che modo pratico attuo la maggiorazione?
Come detto prima: non esiste. O meglio, diventa "automatico" quando hai appreso il costrutto che determinate funzioni si stimano in quella maniera; ma non sempre funziona e, soprattutto, i contesti non sono mai sempre gli stessi.
Bisogna mettersi l'anima in pace e capire
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