Limiti con De l'Hopital o Taylor

[pippopluto95]

Salve, sto cercando di risolvere questo limite ma mi sono impantanato.

$lim_(x->1)(1/ln(x) - 1/(x-1))$

Se uso de l'Hopital viene: $x + 1/(x-1)^2$

Ma anche continuando avrei sempre al denominatore $x-1$ e questo rende impossibile calcolare il limite.

Avendo imparato Taylor da poco, ho qualche dubbio su come usarlo. Potreste gentilmente mostrarmi il procedimento? (per darvi un'idea delle mie conoscenze a riguardo, conosco già la formula e so calcolare limiti semplici con essa).

Grazie mille!

[Frink1]

Eh no!

Come hai usato De L'Hopital? Se l'hai usato come credo, ossia derivando $\frac{1}{\log(x)}$ e $\frac{1}{x-1}$ separatamente, ci sono tantissimi errori. Innanzitutto non ci sono le ipotesi per utilizzarlo.

Per poter utilizzare De L'Hopital devi avere una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, e per arrivare a questa forma devi fare il denominatore comune e effettuare la sottrazione.

Poi: la forma a cui sei arrivato (che è sbagliata) sarebbe calcolabile altroché, e farebbe infinito (ma è sbagliata).

Per risolverlo, prova la sostituzione $t=x-1$ e quindi il limite viene per $t \rightarrow 0$, e ora puoi applicare McLaurin.

[fhabbio]

Come ti ha già detto Frink, non puoi usare in questa forma de l'hopital ma ci tenevo a precisarti che la derivata di $1/(ln(x))$ non è di certo $x$...occhio!

la derivata del reciproco non è il reciproco della derivata ^^

ti consiglio per esercizio di provare a fare la derivata di $1/(ln(x))$

se poi hai altri problemi, ci sarà sicuramente qualcuno disponibile per aiutarti!

[walter.ruggeri.3]

Il metodo migliore per risolvere quel limite è stato già indicato... ma attenzione: se avessi voluto risolverlo con il teorema di De L'Hôpital, avresti potuto farlo, in questo modo:

Riscrivo il limite in una forma più appropriata:

$ lim_{x->1} 1/lnx-1/(x-1) = lim_{x->1} (x-1-lnx)/((x-1)lnx) $

Applico il teorema di De L'Hôpital:

$ lim_{x->1} (x-1-lnx)/((x-1)lnx) = lim_{x->1} (1-1/x)/((x-1)/x+lnx) $

Nuovamente riarrangio il limite in una forma più appropriata:

$ lim_{x->1} (1-1/x)/((x-1)/x+lnx) = lim_{x->1} ((x-1)/x)/((x-1)/x+lnx) = lim_{x->1} 1/(1+(xlnx)/(x-1)) $

A questo punto, vado ad analizzare l'espressione $(xlnx)/(x-1)$ al denominatore: il suo limite, per $x->1$, può essere determinato riscrivendone appositamente l'espressione e quindi applicando ancora il teorema di De L'Hôpital:

$ lim_{x->1} (xlnx)/(x-1) = lim_{x->1} lnx/(1-1/x) = lim_{x->1}(1/x)/(1/x^2) = lim_{x->1}x = 1 $

Dunque, tornando al nostro limite principale, abbiamo che:

$lim_{x->1} 1/(1+(xlnx)/(x-1)) = 1/(1+1) = 1/2$