Limiti: comportamento quando non esistono

[pietro18m]

Buon giorno.

Sono un pò confuso sul calcolo dei limiti, specialmente quando calcolando i vari componenti mi ritrovo limiti che non esistono.
Non riesco a capire bene come si comporta un limite quando i vari componenti si addizionano (o sottraggono) a un qualcosa che non esiste. La stessa cosa per la moltiplicazione o divisione.

Ad esempio, a cosa tende un limite che, facendo i calcoli, risulta $ oo x$ "non esiste" o $ 0 +$ non esiste.
Insomma, tu i casi che mi posso ritrovare.
Il dubbio mi è venuto specialmente calcolando questo limite:

$ lim_(x -> 0) ( 3xcos(1/x)- 2senx^2)/(5x^2 + 4x) $

Risolvendolo con gli sviluppi di MacLaurin giungo a questa conclusione (se i miei calcoli sono corretti):

$ lim_(x -> 0) (3- 3/x^2 - 2x)/(5x +4) $

Risolvendo con de l'hopital invece mi uscivano cos e sen che per x-->0 (l'argomento era 1/x) non esistono.
Deduco quindi che se mi trovo un "non esiste" + qualcosa, il non esiste si trascura.

I miei ragionamenti sono giusti?
Grazie

[Raptorista1]

No, non è questo il punto!
Quando tu parti da un limite che è la somma di più pezzi, puoi spezzarlo nella somma dei limiti
\[
\lim_{x \to x_0} \left[ f(x) + g(x) \right] = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)
\]
SE E SOLO SE entrambi i limiti
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) \qquad \qquad \lim_{x \to x_0} g(x)
\]
esistono finiti oppure sono infiniti ma la somma non è una forma indeterminata.
In caso contrario, non è più vera l'uguaglianza della prima equazione che ho scritto.

Quello che è sbagliato nel tuo ragionamento è che
\[
\lim_{x \to 0} \ x \cos \left( \frac 1 x \right) = 0
\]
cioè esiste finito.

Questo perché, al tendere a zero di \(x\), il modulo della funzione tende a zero [con infinite oscillazioni, è vero, ma tende pur sempre a zero]. Se fai il grafico di quella funzione ti apparirà evidente quello che dico.

[Obidream]

Che poi credo che $cos(1/x)$ non possa mica svilupparlo con Mclaurin, perché l'argomento del coseno non $->0$...
Un modo per vedere il limite $lim_(x->0) [xcos(1/x)]=0$ potrebbe essere il doppio confronto no?

Il coseno indipendente del suo argomento è " bloccato" tra $-1$ e $1$:

$-1<=cos(1/x)<=1$

Per ottenere il mio limite moltiplico tutto per $x$:

$-x<=xcos(1/x)<=x$

Adesso quando $x->0$ i due limiti a destra $->0$, quindi anche il limite al centro $->0$