Limiti coefficenti binomiali

[vittorio.santeusanio]

Penso che questa domanda sarà utile a un po' di gente nel web, visto che non ho trovato neinte su internet al riguardo. Ma bando alle ciance, iniziamo!
Durante il mio studio sulle funzioni mi sono imbattuto più volte in limiti del genere:

[tex]\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n}[/tex]

Inizialmente li ho saltati, ma ora mi rendo conto che è necessario imparare a svolgerli (infatti ce ne sono parecchi anche in seguito).
Dunque: come mi devo muove quando ho un limite del genere?
Ci sono formule semplificate, teoremi che dovrei sapere al meglio? (altre vabbè le propietà dei binomiali)
E per ultimo: se il limite tendesse a zero, dovrei comprortarmi allo stesso modo o cambiare strategia?


Ciao!

[gugo82]

Scrivi esplicitamente e semplifica.

Possono tornare utili i seguenti fatti:

- [tex]$(2n)! =(2n)!!\ (2n-1)!!$[/tex]

(ove il [tex]$m!!$[/tex] denota il doppio fattoriale di [tex]$m$[/tex], ossia il numero che si ottiene moltiplicando tutti i numeri [tex]$\leq m$[/tex] che hanno la stessa parità di [tex]$m$[/tex]: ad esempio [tex]$8!!=2\ 4\ 6\ 8$[/tex] e [tex]$9!!= 1\ 3\ 5\ 7\ 9$[/tex])

- [tex]$(2n)!! =2^n\ n!$[/tex]

(si prova facilmente per induzione).


P.S.: Oltre ai tag TeX prova a racchiudere le formule anche tra \$.