Limiti che non tornano
$\lim_{x \to \0}(e^((sin(x))^2)-cos(x))/x^(2)
potreste spiegarmi come si fa?
grazie.
potreste spiegarmi come si fa?
grazie.
Risposte
"klarence":
$lim_{x \to \0}(e^(sin(x^2))-cos(x))/x^(2)$
potreste spiegarmi come si fa?
grazie.
Con de l'Hospital secondo me:
$lim_{x \to \0}(e^(sin(x^2))-cos(x))/x^(2)=lim_(x->0) (2xe^(sen(x^2))cosx+senx)/(2x)$
No aspetta allora, tutto il seno e' alla seconda o solo l'argomento? Da come l'hai scritto prima e' l'argomento...ho messo il dollaro alla tua formula
comunque usi sempre de l'Hospital:
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2=lim_(x->0)(2e^(sen^2x)senxcosx+senx)/(2x)=lim_(x->0)(senx)/x(2e^(sen^2x)cosx+1)1/2=3/2$
Avevo fatto un errore di calcolo...sorry
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2=lim_(x->0)(2e^(sen^2x)senxcosx+senx)/(2x)=lim_(x->0)(senx)/x(2e^(sen^2x)cosx+1)1/2=3/2$
Avevo fatto un errore di calcolo...sorry
"oronte83":
No aspetta allora, tutto il seno e' alla seconda o solo l'argomento? Da come l'hai scritto prima e' l'argomento...ho messo il dollaro alla tua formula
Avevo sbagliato a scrivere, tutto il seno è al quadrato.
Il problema è che siccome De l'Hopital ancora non lo abbiamo fatto, anche se molti di noi lo conoscono i professori del corso di Analisi 1 vogliono che noi risolviamo il limite con i limiti notevoli .
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2=lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1+1-cosx)/x^2=lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/x^2+(1-cosx)/x^2=$
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2$
adesso si calcolano i limiti separatamente, usando i limiti notevoli, e si ottiene
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/(sen^2 x )=1$
$lim_(x->0)x^2/(sen^2x)=1$
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$
da cui
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2=1/1+1/2=3/2$
probabilmente questa soluzione è meno elegante di quella proposta in precedenza, ma credo suddisfi le esigenze del tuo professore
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2$
adesso si calcolano i limiti separatamente, usando i limiti notevoli, e si ottiene
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/(sen^2 x )=1$
$lim_(x->0)x^2/(sen^2x)=1$
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$
da cui
$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2=1/1+1/2=3/2$
probabilmente questa soluzione è meno elegante di quella proposta in precedenza, ma credo suddisfi le esigenze del tuo professore
"amelia":
probabilmente questa soluzione è meno elegante di quella proposta in precedenza, ma credo suddisfi le esigenze del tuo professore
Bella però...
Grazie, gentilissimi come sempre.
Ecco un altro limite che non torna
$\lim_{x \to \0}(x*((sin(x)))^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2))$
$\lim_{x \to \0}(x*((sin(x)))^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2))$
"klarence":
Ecco un altro limite che non torna
$\lim_{x \to \0}(x*((sin(x)))^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2))$
controlla il testo la prima $x$ è anche lei elevata alla seconda oppure no?
no no la x non è elevata alla seconda
Per risolvere l'esercizio per bene ci devo pensare un po', intanto alcune considerazioni
$\lim_{x \to \0}(x*((sin(x)))^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2))$
$x*((sin(x)))^2$ è un infinitesimo del terzo ordine, mentre $2*(x)^4$ è del quarto quindi tende a zero più velocemente ed è trascurabile rispetto al primo addendo
Il denominatore è un infinitesimo del secondo ordine rispetto alla variabile che qui è $x^(3/2)$, quindi rispetto a $x$ risulta anche lui un infinitesimo del terzo ordine.
Queste considerazioni mi portano ad asserire che il limite risulta finito e $!=0$ in quanto rapporto di due infinitesimi dello stesso ordine.
A spanne direi che viene $2$ ma per fare una cosa per bene devo pensarci un po'.
$\lim_{x \to \0}(x*((sin(x)))^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2))$
$x*((sin(x)))^2$ è un infinitesimo del terzo ordine, mentre $2*(x)^4$ è del quarto quindi tende a zero più velocemente ed è trascurabile rispetto al primo addendo
Il denominatore è un infinitesimo del secondo ordine rispetto alla variabile che qui è $x^(3/2)$, quindi rispetto a $x$ risulta anche lui un infinitesimo del terzo ordine.
Queste considerazioni mi portano ad asserire che il limite risulta finito e $!=0$ in quanto rapporto di due infinitesimi dello stesso ordine.
A spanne direi che viene $2$ ma per fare una cosa per bene devo pensarci un po'.
$\lim_{x \to \0}(x*(sinx)^2-2*(x)^4)/ln(cos(x*(x)^(1/2)))=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3 / ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2))=$
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3 / (1/2 (ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2))))=$
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) * 2*(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))$
Risolvendo singolarmente ciascuna delle forme indeterminate ottengo
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)=1$
$=\lim_{x \to \0}x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) =1$
$=\lim_{x \to \0}(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))=1$
da cui $=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) * 2*(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))=1*1*2*1=2$
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3 / (1/2 (ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2))))=$
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) * 2*(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))$
Risolvendo singolarmente ciascuna delle forme indeterminate ottengo
$=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)=1$
$=\lim_{x \to \0}x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) =1$
$=\lim_{x \to \0}(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))=1$
da cui $=\lim_{x \to \0}(((sinx)^2)/x^2-2*x)*x^3/(sin^2 (x)^(3/2)) * 2*(sin^2 (x)^(3/2))/(ln sqrt(1- sin^2 (x)^(3/2)))=1*1*2*1=2$
Hai dimenticato di togliere la radice dal logaritmo nel terzo passaggio. 
La terza forma indeterminata dovrebbe inoltre venire $-1$, dando come risultato finale $-2$.
La terza forma indeterminata dovrebbe inoltre venire $-1$, dando come risultato finale $-2$.
"Eredir":
Hai dimenticato di togliere la radice dal logaritmo nel terzo passaggio.
La terza forma indeterminata dovrebbe inoltre venire $-1$, dando come risultato finale $-2$.
Grazie!
C'è sempre bisogno di una mano, quando si svolgono gli esercizi troppo di fretta.
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