Limiti asintotici
ciao a tutti,
in settimana abbiamo iniziato il limiti introducendo il concetto di asintotico.
sto facendo un po' di esercizi ma ho qualche dubbio con il seguente esercizio:
$\lim_{x \to \infty} x*(e^(2/x)-1)$
1° risoluzione
$(2/x)=t $ $rArr$ per $x rarr oo$ $rArr$ $t rarr 0$
$x=(2/t)$
quindi sostituendo tutto :
$\lim_{t \to \0} 2/t*(e^(t)-1)$ moltiplico e divido per $t$ per ricondurmi al limite notevole $\lim_{x \to \0} (e^(fx)-1)/(fx)$
in conclusione $\lim_{t \to \0} 2/t*(e^(t)-1)*(t)/t = 2$
2° risoluzione con limiti asintotici
so che il limite notevole a cui faccio riferimento è $\lim_{x \to \0} (e^(fx)-1)/(fx)$ che è possibile scriverlo come $e^(fx)-1 $~$ fx$ .
è possibile applicare cio' all'esercizio ? cioè:
$\lim_{x \to \infty} x*(e^(2/x)-1)$ da cui $e^(fx)-1 $~$ fx$ $rarr$ $e^(2/x)-1$ $~$ $2/x$
quindi in conclusione:
$\lim_{x \to \infty} x*(2/x) = 2$
è giusto anche il secondo procedimento ??
in settimana abbiamo iniziato il limiti introducendo il concetto di asintotico.
sto facendo un po' di esercizi ma ho qualche dubbio con il seguente esercizio:
$\lim_{x \to \infty} x*(e^(2/x)-1)$
1° risoluzione
$(2/x)=t $ $rArr$ per $x rarr oo$ $rArr$ $t rarr 0$
$x=(2/t)$
quindi sostituendo tutto :
$\lim_{t \to \0} 2/t*(e^(t)-1)$ moltiplico e divido per $t$ per ricondurmi al limite notevole $\lim_{x \to \0} (e^(fx)-1)/(fx)$
in conclusione $\lim_{t \to \0} 2/t*(e^(t)-1)*(t)/t = 2$
2° risoluzione con limiti asintotici
so che il limite notevole a cui faccio riferimento è $\lim_{x \to \0} (e^(fx)-1)/(fx)$ che è possibile scriverlo come $e^(fx)-1 $~$ fx$ .
è possibile applicare cio' all'esercizio ? cioè:
$\lim_{x \to \infty} x*(e^(2/x)-1)$ da cui $e^(fx)-1 $~$ fx$ $rarr$ $e^(2/x)-1$ $~$ $2/x$
quindi in conclusione:
$\lim_{x \to \infty} x*(2/x) = 2$
è giusto anche il secondo procedimento ??
Risposte
Giusto! Suppongo che dove hai messo il trattino corto in realtà volessi mettere un simbolo di asintotico 
in realtà quella doverebbe essere "un' ondina" 
non ho trovato altro 
altro esercizio con dubbio ....
$\lim_{x \to \0}( sqrt (1- cosx))/( sqrt2*x)$
sfruttando le regole algebriche degli asintotici e sfruttando i limiti notevoli:
facendo riferimento al limite notevole $\lim_{x \to \0}(1- cosx)/ x^2$
allora
$sqrt (1- cosx)$ $~$ $sqrt( x^2)$
è giusta e fattibile una cosa simile?
non ho trovato altro altro esercizio con dubbio ....
$\lim_{x \to \0}( sqrt (1- cosx))/( sqrt2*x)$
sfruttando le regole algebriche degli asintotici e sfruttando i limiti notevoli:
facendo riferimento al limite notevole $\lim_{x \to \0}(1- cosx)/ x^2$
allora
$sqrt (1- cosx)$ $~$ $sqrt( x^2)$
è giusta e fattibile una cosa simile?
Si
sono ancora qui a rompere le scatole
ho provato a svolgere l'esercizio del post precedente ma faccio qualche errore....
scrivo tutti i passaggi che ho effettuato :
$\lim_{x \to \0^+}sqrt(1-cosx)/(sqrt(2)*x)$
conoscendo il limite notevole trovo che $sqrt(1-cosx)$ $~$ $sqrt(x^2)$ ; essendo il limite tendente a $0^+$ ,quindi quantità positiva, semplifico $x^2$ con la radice senza mettere il modulo...
quindi riscrivo il limite in questo modo $\lim_{x \to \0^+}1/2*x/(sqrt(2)*x)= sqrt2/4$ (razionalizzazione compresa ) ma c'è qualcosa che mi sfugge perchè il risultato dovrebbe essere $1/2$!
dove ho sbagliato ?
ho provato a svolgere l'esercizio del post precedente ma faccio qualche errore....
scrivo tutti i passaggi che ho effettuato :
$\lim_{x \to \0^+}sqrt(1-cosx)/(sqrt(2)*x)$
conoscendo il limite notevole trovo che $sqrt(1-cosx)$ $~$ $sqrt(x^2)$ ; essendo il limite tendente a $0^+$ ,quindi quantità positiva, semplifico $x^2$ con la radice senza mettere il modulo...
quindi riscrivo il limite in questo modo $\lim_{x \to \0^+}1/2*x/(sqrt(2)*x)= sqrt2/4$ (razionalizzazione compresa ) ma c'è qualcosa che mi sfugge perchè il risultato dovrebbe essere $1/2$!
dove ho sbagliato ?
Guarda che dal limite notevole $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$ ricavi che $(1-cosx)~x^2/2$, sostituendo avrai $lim_(x->0)sqrt (x^2/2)/(xsqrt(2)) $ $=lim_(x->0)x/(xsqrt(2)×sqrt (2))$ $=lim_(x->0)x/(2x)=1/2$
ahh okok tutto chiaro ! ho capito grazie ! 
Chiedo scusa sono io che ti ho confermato un risultato che in realtà era sbagliato:
La risposta doveva essere no
"Ilprincipiante":
facendo riferimento al limite notevole $lim_{x\to 0}\frac{1−\cos x}{x^2}$
allora
$\sqrt{1−\cos x} ~ \sqrt{x^2}$
è giusta e fattibile una cosa simile?
La risposta doveva essere no
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