Limiti alla funzione $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))$
Ho trovato alcune difficoltà con questi limiti:
$x->-oo$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=pi^-$
$x->0$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=0$
$x->1$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=$ non so come svolgerlo
$x->+oo$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=pi^+$
Il dominio della funzione che ho trovato è:
$(-oo;0)$ $U$ $(0,1)$ $U$ $(1;+oo)$
qualche suggerimento a riguardo?
grazie
$x->-oo$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=pi^-$
$x->0$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=0$
$x->1$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=$ non so come svolgerlo
$x->+oo$ $f(x)=arccos((1+x)/(1-x))=pi^+$
Il dominio della funzione che ho trovato è:
$(-oo;0)$ $U$ $(0,1)$ $U$ $(1;+oo)$
qualche suggerimento a riguardo?
grazie
Risposte
Mi sembra che il dominio della funzione $arccos((1+x)/(1-x))$ sia sbagliato, come lo hai trovato ?
Allora il dominio della funzione arccos è $[-1;1]$ quindi dobbiamo risolvere i due domini e poi unirli e cioè quello della fratta e quello dell'arcocos. Quello della fratta è $x!=1$. Quindi il dominio sarebbe questo:$D=[-1;1)$? Per il primo limite, per $x->-oo$ i polinomi essendo stesso grado abbiamo $arccos(-1)$ e quindi $pi+2kpi$ ed è giusto.
Per il secondo, semplicemente sostituendo, mi viene $arccos(1)$ e cioè 0.
Per il terzo limite sapevi che c'è un'equivalenza asintotica per $x->1$?
L'arcocosx è equivalente a $sqrt(2(1-x))$ quindi in questo caso è equivalente a $sqrt(2(1-(1+x)/(1-x)))$ L'altro limite va pure bene quindi il problema era solo questo. Ma se il dominio è quello che ho fatto io dovevi fare solo il limite per $x->1^-$ o sbaglio? Spero di esserti stato di aiuto. 
Per il secondo, semplicemente sostituendo, mi viene $arccos(1)$ e cioè 0.
Per il terzo limite sapevi che c'è un'equivalenza asintotica per $x->1$?
L'arcocosx è equivalente a $sqrt(2(1-x))$ quindi in questo caso è equivalente a $sqrt(2(1-(1+x)/(1-x)))$ L'altro limite va pure bene quindi il problema era solo questo. Ma se il dominio è quello che ho fatto io dovevi fare solo il limite per $x->1^-$ o sbaglio? Spero di esserti stato di aiuto.
La funzione $arccos(x)$ è definita per $x in [-1 ; 1]$.
La funzione $arccos((1+x)/(1-x))$ è definita per $x in RR-{1}$ t.c. $-1<=(1+x)/(1-x)<=1 $.
La funzione $arccos((1+x)/(1-x))$ è definita per $x in RR-{1}$ t.c. $-1<=(1+x)/(1-x)<=1 $.
Ascoltate Relegal, per fare un limite per $x to x_0$ è necessario che $x_0$ appartenga al dominio!
state facendo parecchi errori perchè alcuni limiti dovrebbero essere riconosciuti come senza senso.
state facendo parecchi errori perchè alcuni limiti dovrebbero essere riconosciuti come senza senso.
E infatti. Il dominio è quello che dice Relegal. Quindi poi ci saranno dei punti in cui i limiti nemmeno dobbiamo calcolarli perchè non ha senso.
Ho calcolato la disequazione di Relegal e mi viene il num $-2<=x<=0$ e il den. $2>=x>=0$ quindi facendo lo schemino $x<=-2$ e $x>=2$ giusto? e quindi il dominio sarebbe $D=(-oo;-2]U[2;+oo)$ se non sbaglio e quindi dovremmo fare solo i limiti a infinito perchè per $x=+-2$ è continua giusto?
Quindi il primo limite è uguale a $arccos(-1)$ e quindi a $pi$. Questo sarebbe l''asintoto orizzontale $y=pi$.
Ho calcolato la disequazione di Relegal e mi viene il num $-2<=x<=0$ e il den. $2>=x>=0$ quindi facendo lo schemino $x<=-2$ e $x>=2$ giusto? e quindi il dominio sarebbe $D=(-oo;-2]U[2;+oo)$ se non sbaglio e quindi dovremmo fare solo i limiti a infinito perchè per $x=+-2$ è continua giusto?
Quindi il primo limite è uguale a $arccos(-1)$ e quindi a $pi$. Questo sarebbe l''asintoto orizzontale $y=pi$.
"AlexlovesUSA":
Ho calcolato la disequazione di Relegal e mi viene il num $-2<=x<=0$ e il den. $2>=x>=0$ quindi facendo lo schemino $x<=-2$ e $x>=2$ giusto? e quindi il dominio sarebbe $D=(-oo;-2]U[2;+oo)$ se non sbaglio e quindi dovremmo fare solo i limiti a infinito perchè per $x=+-2$ è continua giusto?
Quindi il primo limite è uguale a $arccos(-1)$ e quindi a $pi$. Questo sarebbe l''asintoto orizzontale $y=pi$.
è tutto sbagliato, non so come ti vengano fuori quei risultati, ma prova a mettere quache valore e vedrai:
non c'è $0$ nel tuo dominio, che invece va bene, e anche ad esempio $-1$ ecc..
poi prova a sostituire un qualunque numero maqggiore di $2$,ad esempio $3$ o $4$ ecc., che secondo te vanno bene, e vedrai che non ha senso.
Scusate ma forse ho fatto un po di confusione. Allora, il dominio di arccos è quello che abbiamo detto prima. Poi dobbimo considerare il dominio della fuznione fratta che è $x!=1$. Ora uniamo i due domini e ci viene fuori questa disequazione $-1<=(1+x)/(1-x)<1$ perchè non può essere uguale a 1. Adesso risolviamo il sistema $-1<=(1+x)/(1-x)$ e $(1+x)/(1-x)<1$ e abbiamo per quanto riguarda la prima $-2<=x<=2$ e per la seconda mi viene fuori mai cioè mi vine fuori il num per $x<0$ e il den per $x>0$. Quindi sto benedetto dominio quele è? Gentilmente lo scriveresti tu perfavore?
Io avevo messo a sistema:
$(1+x)/(1-x)<=1$
con
$(1+x)/(1-x)>= -1$
che risolvendo veniva:
$2x/(1-x)<=0$
$2/(1-x)>=0$
che alla fine dei conti viene da risolvere il sistema:
$x<=0$ e $x>1$
$x<1$
e il risultato finale è:
$x<=0$
ho ricontrollato su un programma che fa i grafici, e ora va bene.
facendo il limite:
$x->0$ è $0$
io non farei gli asintoti obliqui, perchè è una funzione periodica.
il limite a $-oo$ invece:
è $pi^-$
perchè si trova nel secondo quadrante.
cosa ne dite?
$(1+x)/(1-x)<=1$
con
$(1+x)/(1-x)>= -1$
che risolvendo veniva:
$2x/(1-x)<=0$
$2/(1-x)>=0$
che alla fine dei conti viene da risolvere il sistema:
$x<=0$ e $x>1$
$x<1$
e il risultato finale è:
$x<=0$
ho ricontrollato su un programma che fa i grafici, e ora va bene.
facendo il limite:
$x->0$ è $0$
io non farei gli asintoti obliqui, perchè è una funzione periodica.
il limite a $-oo$ invece:
è $pi^-$
perchè si trova nel secondo quadrante.
cosa ne dite?
Scusa ma mi sto confondendo un poco XD. In una disequazione fratta si devono perforza studiare il numeratore e il denominatore e poi fare uno schemino rissuntivo. Quindi è come se dovessimo risolvere 4 disequazioni che poi riassumiamo in uno schemino, quindi per questo io non ho portato 1 all'altro membro e non ho fatto il minimo comune multiplo. Però anche se fosse come dici tu dopo avere fatto lo schemino a me viene $0<=x<1$ per la prima e $x<=1$ per la seconda e quindi facendo lo schemino riassuntivo mi viene $0<=x<1$ e $x>1$ quindi il dominio finale mi viene $D=(-oo;0]U[0;1)U(1;+oo)$. Ma se il grafico va bene allora hai ragione non saprei + guarda, sono nella confusione + assoluta XD.
non saprei + guarda, sono nella confusione + assoluta XD.
Ah ragazzi, ho controllato in Derive 6 e ho scritto la funzione in modo correttissimo e cioè $ACOS((1+x)/(1-x))$ e mi è uscita fuori una funzione che ha un dominio che va da $0$, compreso, a $-oo$ mentre la y va da 0 a, non capisco se è 1 o $pi$ che è un asintoto orizzontale e basta. Non c'è nnt nel primo quadrante. Quindi tutte le parti di dominio che abbiamo scritto da 0 a $+oo$ non c'entra nnt.
Scusa ma il risultato non si trova mettendo la funzione in un programma e guardando il grafico, dove non si capisce neanche se va a $1$ o $\pi$....
basta risolvere due semplicissime disequazioni, il che si fa come dice clever, tu mi sembra che hai un po' di confusione in testa.
comunque riguardo ciò che dici, clever, va tutto bene, ma (come al solito
) aggiungi dettagli che ti portano fuori strada:
le conclusioni sono corrette, ma le motivazioni completamente sballate: come fai a dire che è periodica, quale sarebbe il periodo???
inoltre se ci pensi una funzione periodica non può avere un limite per $x to infty$, a meno che sia costante...
poi cosa vuol dire che il limite per $x to -infty$ è $\pi^-$ perchè è nel secondo quadrante?? non è una motivazione ti pare?
basta risolvere due semplicissime disequazioni, il che si fa come dice clever, tu mi sembra che hai un po' di confusione in testa.
comunque riguardo ciò che dici, clever, va tutto bene, ma (come al solito
) aggiungi dettagli che ti portano fuori strada:"clever":
io non farei gli asintoti obliqui, perchè è una funzione periodica.
il limite a $-infty$ invece:
è $\pi^-$
perchè si trova nel secondo quadrante.
le conclusioni sono corrette, ma le motivazioni completamente sballate: come fai a dire che è periodica, quale sarebbe il periodo???
inoltre se ci pensi una funzione periodica non può avere un limite per $x to infty$, a meno che sia costante...
poi cosa vuol dire che il limite per $x to -infty$ è $\pi^-$ perchè è nel secondo quadrante?? non è una motivazione ti pare?
Alex hai sbagliato i calcoli; il dominio corretto è [tex]$]-\infty ,0]$[/tex].
Visto che il dominio di [tex]$\arccos y$[/tex] è definito dalle limitazioni [tex]$-1\leq y \leq 1$[/tex] e che l'argomento dell'arcocoseno è definito per [tex]$x\neq 1$[/tex], il dominio della funzione composta si trova risolvendo il sistema:
[tex]$\begin{cases} -1\leq \frac{1+x}{1-x} \leq 1 \\ x\neq 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \frac{1+x}{1-x} \geq -1 \\ \frac{1+x}{1-x} \leq 1 \\ x\neq 1\end{cases}$[/tex]
Tuttavia si può procedere anche graficamente: il sistema ti dice che devi cercare i valori di [tex]$x$[/tex] per i quali il grafico della funzione [tex]$u(x):=\frac{1+x}{1-x} =-1+\frac{2}{1-x}$[/tex] non è fuori dalla striscia delimitata dalle due rette d'equazione [tex]$y=\pm 1$[/tex].
Facendo il grafico (in nero [tex]$u(x)$[/tex], in rosso le due rette):
[asvg]axes("","");
plot("-1+2/(1-x)",-6,0.9);
plot("-1+2/(1-x)",1.1,6);
stroke="red";
line([-6,1],[6,1]);
line([-6,-1],[6,-1]);[/asvg]
si vede che i valori di [tex]$x$[/tex] che verificano la condizione di cui sopra sono quelli in [tex]$]-\infty ,0]$[/tex].
P.S.: Un avvertimento.
Come già detto più e più volte, Derive ed altri software non sempre sono utili quando si cerca di controllare gli insiemi di definizione delle funzioni elementari.
A volte vengono diagrammate "pezzi" di funzione che non c'entrano nulla poichè alcuni software numerici vedono le variabili come numeri complessi e si sà che alcune funzioni elementari (come le trigonometriche inverse) sono definite su insiemi più vasti se riguardate come funzioni di variabile complessa.
Visto che il dominio di [tex]$\arccos y$[/tex] è definito dalle limitazioni [tex]$-1\leq y \leq 1$[/tex] e che l'argomento dell'arcocoseno è definito per [tex]$x\neq 1$[/tex], il dominio della funzione composta si trova risolvendo il sistema:
[tex]$\begin{cases} -1\leq \frac{1+x}{1-x} \leq 1 \\ x\neq 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \frac{1+x}{1-x} \geq -1 \\ \frac{1+x}{1-x} \leq 1 \\ x\neq 1\end{cases}$[/tex]
Tuttavia si può procedere anche graficamente: il sistema ti dice che devi cercare i valori di [tex]$x$[/tex] per i quali il grafico della funzione [tex]$u(x):=\frac{1+x}{1-x} =-1+\frac{2}{1-x}$[/tex] non è fuori dalla striscia delimitata dalle due rette d'equazione [tex]$y=\pm 1$[/tex].
Facendo il grafico (in nero [tex]$u(x)$[/tex], in rosso le due rette):
[asvg]axes("","");
plot("-1+2/(1-x)",-6,0.9);
plot("-1+2/(1-x)",1.1,6);
stroke="red";
line([-6,1],[6,1]);
line([-6,-1],[6,-1]);[/asvg]
si vede che i valori di [tex]$x$[/tex] che verificano la condizione di cui sopra sono quelli in [tex]$]-\infty ,0]$[/tex].
P.S.: Un avvertimento.
Come già detto più e più volte, Derive ed altri software non sempre sono utili quando si cerca di controllare gli insiemi di definizione delle funzioni elementari.
A volte vengono diagrammate "pezzi" di funzione che non c'entrano nulla poichè alcuni software numerici vedono le variabili come numeri complessi e si sà che alcune funzioni elementari (come le trigonometriche inverse) sono definite su insiemi più vasti se riguardate come funzioni di variabile complessa.
E' proprio questo che avevo messo a sistema io anche se ho sbagliato qualche calcolo e quindi mi è sballato il dominio ed è proprio questo che il programma Derive 6 mi ha rivelato quando ho inserito la funzione, perchè la funzione è una semiparabola convessa che va da $x=0$ a $-oo$ e in y va da 0 a non capisco se l'asintoto sia 1 o $pi$ ma sono io che non lo capico anche perchè non l'ho calcolato ma il programma la fuznione l'ha disegnata bene
Sì, Alex, l'avevo capito.
Ma il mio avvertimento era di carattere generale: non sempre Derive (o altri software) "ci azzeccano" coi domini... Quindi non conviene usarli per verificare questo tipo di conti.
Ma il mio avvertimento era di carattere generale: non sempre Derive (o altri software) "ci azzeccano" coi domini... Quindi non conviene usarli per verificare questo tipo di conti.
Ah certo. Sempre fare i calcoli prima Questi programmi li uso solo alla fine per vedere s eho fatto bene oppure per controllare qualcosina ma non gli da mai piena fiducia... anche perchè studio ingegneria informatica e so come fuznionano e vengono fatti i programmi e so che sono soggetti ad errori di calcolo ecc...
Cmq menomale che sto dominio è uscito fuori. Dopo ore di confusione ... Grazie
Questi programmi li uso solo alla fine per vedere s eho fatto bene oppure per controllare qualcosina ma non gli da mai piena fiducia... anche perchè studio ingegneria informatica e so come fuznionano e vengono fatti i programmi e so che sono soggetti ad errori di calcolo ecc...Cmq menomale che sto dominio è uscito fuori. Dopo ore di confusione ... Grazie
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