Limiti agli estremi del dominio
Ciao a tutti, sto facendo lo studio di funzione di $f(x)=sin(x)+1/sin(x)$ il cui dominio è $AAx!=k\pi$.
Ora devo trovare i limiti agli estremi del dominio che sono sicuramente $\lim_{x \to +\infty}f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty}f(x)$ che non esistono.
Ma non devo calcolare anche i limiti $\lim_{x \to +k\pi}f(x)$ e $\lim_{x \to -k\pi}f(x)$ o qualcosa di simile? Se sì, come si calcolano questo tipo di limiti?
Grazie
Ora devo trovare i limiti agli estremi del dominio che sono sicuramente $\lim_{x \to +\infty}f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty}f(x)$ che non esistono.
Ma non devo calcolare anche i limiti $\lim_{x \to +k\pi}f(x)$ e $\lim_{x \to -k\pi}f(x)$ o qualcosa di simile? Se sì, come si calcolano questo tipo di limiti?
Grazie
Risposte
Per semplicità iniziamo a considerare $k=1 $ e quindi i due limiti :
$lim_(x rarr pi^(-) ) sin x+1/(sin x ) = 0+ 1/(0^(+))= +oo $
$lim_(x rarr pi^(+)) sin x+1/(sin x) = 0+1/(0^(-))= -oo$.
Quindi le rette di equazione $x = k*pi $ sono asintoti verticali.
$lim_(x rarr pi^(-) ) sin x+1/(sin x ) = 0+ 1/(0^(+))= +oo $
$lim_(x rarr pi^(+)) sin x+1/(sin x) = 0+1/(0^(-))= -oo$.
Quindi le rette di equazione $x = k*pi $ sono asintoti verticali.
Aaaah ok, era facile 
Grazie!
Grazie!
Ora devo trovare gli intervalli di monotonia.
$f'(x)=D(\sin x) + D(\frac{1}{\sin x})=\cos x + \frac{D(1)\sin x-1 D(\sin x)}{\sin^2 x }=\cos x -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \cos x ( 1-\frac{1}{\sin^2 x} )$.
Usando però un tool online noto che la derivata è uguale alla mia ma nella forma $-\cos x \cotg^2 x$. Come ci è arrivato? .
Ora devo risolvere $\cos x ( 1-\frac{1}{\sin^2 x} )>0$.
Ecco ora qui mi blocco... Come risolvo questa disequazione?
Grazie
$f'(x)=D(\sin x) + D(\frac{1}{\sin x})=\cos x + \frac{D(1)\sin x-1 D(\sin x)}{\sin^2 x }=\cos x -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \cos x ( 1-\frac{1}{\sin^2 x} )$.
Usando però un tool online noto che la derivata è uguale alla mia ma nella forma $-\cos x \cotg^2 x$. Come ci è arrivato? .
Ora devo risolvere $\cos x ( 1-\frac{1}{\sin^2 x} )>0$.
Ecco ora qui mi blocco... Come risolvo questa disequazione?
Grazie
Puoi continuare così : $ cosx(1-1/(sin^2x))=cosx*(sin^2x-1)/(sin^2x) = -cosx*(1-sin^2x)/(sin^2x) = - cosx*(cos^2x)/(sin^2x)= -cosx* ctg^2x $.
Per studiare il segno considera che $ctg^2 x $è sempre positiva o nulla ( ove è definita ovviamente) etc.
Per studiare il segno considera che $ctg^2 x $è sempre positiva o nulla ( ove è definita ovviamente) etc.
Grazie.. Le disequazioni goniometriche sono un pò complicate eh. Grazie ancora
Intervalli di monotonia : poiché $ f ' (x)= -cosx*ctg^2(x) $ ne consegue ( segno meno davanti al $cosx $ e ricordando che $ctg^2 x $ è positiva o nulla ) che :
la funzione $f(x) $ è crescente dove il coseno è negativo ed è decrescente dove il coseno è positivo.OK ?
la funzione $f(x) $ è crescente dove il coseno è negativo ed è decrescente dove il coseno è positivo.OK ?
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