Limiti a due variabili
Salve a tutti.
Sto cominciando a studiare per l'esame di Analisi 2. E per quanto la teoria non mi sembra essere poi così complicata, mi trovo un po' in difficoltà per gli esercizi. Cioè, mi spiego meglio.
Non capisco i criteri che vengono usati quando si calcolano i limiti a due variabili.
Moltissimi ricorrono alle catene di disuguaglianze per potere applicare il teorema dei carabinieri, altri utilizzano coordinate polari.. Quali sono delle linee guida efficaci?
Ad esempio, questo limite.
Cosa vuole dire dicendo "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Perchè il passaggio alle coordinate polari mi assicura che il limite sia 0?
Grazie a tutti.
Francesco
Sto cominciando a studiare per l'esame di Analisi 2. E per quanto la teoria non mi sembra essere poi così complicata, mi trovo un po' in difficoltà per gli esercizi. Cioè, mi spiego meglio.
Non capisco i criteri che vengono usati quando si calcolano i limiti a due variabili.
Moltissimi ricorrono alle catene di disuguaglianze per potere applicare il teorema dei carabinieri, altri utilizzano coordinate polari.. Quali sono delle linee guida efficaci?
Ad esempio, questo limite.
Cosa vuole dire dicendo "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Perchè il passaggio alle coordinate polari mi assicura che il limite sia 0?
Grazie a tutti.
Francesco
Risposte
Ciao 
Prova a guardare qui, almeno come "trampolino" http://www.matematicamente.it/forum/limite-funzione-di-2-variabili-t99798.html#p660097
Prova a guardare qui, almeno come "trampolino" http://www.matematicamente.it/forum/limite-funzione-di-2-variabili-t99798.html#p660097
"Brancaleone":
Ciao
Prova a guardare qui, almeno come "trampolino" http://www.matematicamente.it/forum/limite-funzione-di-2-variabili-t99798.html#p660097
Grazie mille! Era quello che mi serviva, ora gli do una bella occhiata! Ma mi sapresti dire il prof cosa intende con "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Le rette passanti per l'origine non sono infinite? o intende un'altra cosa?
"franc3sc0":
Ma mi sapresti dire il prof cosa intende con "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Le rette passanti per l'origine non sono infinite? o intende un'altra cosa?
Sì, le rette passanti per l'origine sono ovviamente infinite, ma ricorda che una qualsiasi retta passante per l'origine si può scrivere come $y=mx$.
Semplicemente: hai un limite in due variabili. Per calcolarlo ti porti in coordinate polari. Se non riesci a pervenire ad un valore (sia esso finito o infinito), ovvero se non riesci a dimostrare una maggiorazione, ti può prendere il dubbio che il limite non esiste (NB: come puoi leggere nel link il limite non esiste anche nel caso in cui il valore in coordinate polari dipende da $\theta$). Allora puoi passare al metodo delle restrizioni: prendendo due curve qualsiasi passanti per il punto in esame (per "curva" si intendono anche le rette: in questo caso il tuo prof, poiché il punto considerato è $(0,0)$, ha impiegato le rette passanti per l'origine) verifichi se ottieni almeno due valori diversi tra loro. Se sì, allora sta' sicuro che il limite non esiste.
Comunque sia, passare subito al metodo delle restrizioni non è sempre la maniera "più furba" per affrontare il limite, perché anche se i valori non sono diversi tra loro non hai la sicurezza che il valore che t'è venuto fuori con tale metodo sia il limite effettivo; meglio cominciare dalle coordinate polari e poi, se è il caso, passare alle restrizioni.
"Brancaleone":
[quote="franc3sc0"]Ma mi sapresti dire il prof cosa intende con "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Le rette passanti per l'origine non sono infinite? o intende un'altra cosa?
Sì, le rette passanti per l'origine sono ovviamente infinite, ma ricorda che una qualsiasi retta passante per l'origine si può scrivere come $y=mx$.
Semplicemente: hai un limite in due variabili. Per calcolarlo ti porti in coordinate polari. Se non riesci a pervenire ad un valore (sia esso finito o infinito), ovvero se non riesci a dimostrare una maggiorazione, ti può prendere il dubbio che il limite non esiste (NB: come puoi leggere nel link il limite non esiste anche nel caso in cui il valore in coordinate polari dipende da $\theta$). Allora puoi passare al metodo delle restrizioni: prendendo due curve qualsiasi passanti per il punto in esame (per "curva" si intendono anche le rette: in questo caso il tuo prof, poiché il punto considerato è $(0,0)$, ha impiegato le rette passanti per l'origine) verifichi se ottieni almeno due valori diversi tra loro. Se sì, allora sta' sicuro che il limite non esiste.
Comunque sia, passare subito al metodo delle restrizioni non è sempre la maniera "più furba" per affrontare il limite, perché anche se i valori non sono diversi tra loro non hai la sicurezza che il valore che t'è venuto fuori con tale metodo sia il limite effettivo; meglio cominciare dalle coordinate polari e poi, se è il caso, passare alle restrizioni.[/quote]
Grazie per la riposta.
Quindi se trasformo la funzione in coordinate polari e vedo che il limite dipende dall'angolo, posso concludere che il limite non esiste o devo per forza trovare qualche maggiorazione?
Se maggiorando opportunamente (o anche arrivando a un certo valore senza aver maggiorato) vedi che il limite dipende solamente da $theta$ non devi continuare a maggiorare, proprio perché il limite ormai dipende da $theta$ e perciò non esiste.
Esempio:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (xy)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^2 \cos \theta \sin \theta)/\rho^2=\cos \theta \sin \theta$ e qui non ho diritto a maggiorarlo con $1$.
Cosa diversa è invece se la $\rho$ rimane, come nell'esempio seguente:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta)/\rho^2= \rho \cos^2 \theta \sin \theta \le \rho = 0$
Esempio:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (xy)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^2 \cos \theta \sin \theta)/\rho^2=\cos \theta \sin \theta$ e qui non ho diritto a maggiorarlo con $1$.
Cosa diversa è invece se la $\rho$ rimane, come nell'esempio seguente:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta)/\rho^2= \rho \cos^2 \theta \sin \theta \le \rho = 0$
"Brancaleone":
Se maggiorando opportunamente (o anche arrivando a un certo valore senza aver maggiorato) vedi che il limite dipende solamente da $theta$ non devi continuare a maggiorare, proprio perché il limite ormai dipende da $theta$ e perciò non esiste.
Esempio:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (xy)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^2 \cos \theta \sin \theta)/\rho^2=\cos \theta \sin \theta$ e qui non ho diritto a maggiorarlo con $1$.
Cosa diversa è invece se la $\rho$ rimane, come nell'esempio seguente:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta)/\rho^2= \rho \cos^2 \theta \sin \theta \le \rho = 0$
Grazie tanto! Mi sei stato utilissimo!
Prego 
Una domanda per quanto riguarda il passaggio in coordinate polari...
Una volta che ho effettuato il passaggio, posso trattare il limite come se fosse in 1 sola variabile e quindi posso applicare tutti i teoremi di Analisi 1 no?
Ad esempio la funzione
$f(x,y) = (1-e^{x^3y^2})/(x^6+y^4) $
io pensavo di trasformarla in coordinate polari, e quindi
$f(rho,theta) = (1-e^{rho^5 cos^3(theta) sen^2(theta)})/(rho^6 cos^6(theta) + rho^4 sen^4(theta)) $
e se applico de l'hopital ottengo che il limite vale 0 per $ rho to 0 $ però l'eserciziario dice che il limite non esiste.. dove sbaglio?
Una volta che ho effettuato il passaggio, posso trattare il limite come se fosse in 1 sola variabile e quindi posso applicare tutti i teoremi di Analisi 1 no?
Ad esempio la funzione
$f(x,y) = (1-e^{x^3y^2})/(x^6+y^4) $
io pensavo di trasformarla in coordinate polari, e quindi
$f(rho,theta) = (1-e^{rho^5 cos^3(theta) sen^2(theta)})/(rho^6 cos^6(theta) + rho^4 sen^4(theta)) $
e se applico de l'hopital ottengo che il limite vale 0 per $ rho to 0 $ però l'eserciziario dice che il limite non esiste.. dove sbaglio?
Hopital non va bene: nonostante il fatto che portandosi in coordinate polari il limite non si calcola più per due variabili ($x$ e $y$) ma per una sola ($rho$), c'è comunque sempre $theta$ che è anch'essa variabile della funzione - non abbiamo trasformato $f(x,y) \Rightarrow f(rho, theta)$? Al massimo lo puoi usare dopo aver eliminato in qualche modo tutte le $theta$.
Prova invece a usare MacLaurin al numeratore (dopo averlo maggiorato, ovviamente), e vedi cosa accade al denominatore...
Prova invece a usare MacLaurin al numeratore (dopo averlo maggiorato, ovviamente), e vedi cosa accade al denominatore...
"Brancaleone":
Hopital non va bene: nonostante il fatto che portandosi in coordinate polari il limite non si calcola più per due variabili ($x$ e $y$) ma per una sola ($rho$), c'è comunque sempre $theta$ che è anch'essa variabile della funzione - non abbiamo trasformato $f(x,y) \Rightarrow f(rho, theta)$? Al massimo lo puoi usare dopo aver eliminato in qualche modo tutte le $theta$.
Prova invece a usare MacLaurin al numeratore (dopo averlo maggiorato, ovviamente), e vedi cosa accade al denominatore...
Ok, avevo avuto il dubbio anche io. Ma mi chiedo, nell'operazione del limite, sto tendendo $theta$ fissato, non può variare in nessun modo.. com'è che devo trattarla come una variabile? Io la tratterei più come un parametro..
$theta$ fissato? No, non è così. $theta$ è l'angolo con cui "andiamo a colpire" il valore del limite. Ricordandoci che questo limite se esiste è unico allora, qualunque valore $theta$ prenda, il limite è sempre lo stesso. Incatenando $theta$ ad un certo valore è come affermare che essa non è affatto una variabile. $theta$ può assumere qualunque valore.
Ok.
Io ho questo problema
E prima calcolo le derivate parziali tramite la definizione e trovo che valgono zero.
Allora devo vedere per quali valori dei parametri
$ lim_{(h,k) to 0} (f(h,k)-f(0,0))/(sqrt(h^2+k^2)) = (|h|^\alpha|k|^\beta)/(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
E ragiono così
$ 0 < |h|^\alpha <= (sqrt(h^2+k^2))^\alpha$
$ 0 < |k|^\beta <= (sqrt(h^2+k^2))^\beta$
allora
$ 0 < |h|^\alpha |k|^\beta <= (h^2+k^2)^((\alpha+\beta)/2) $
$ 0 < (|h|^\alpha |k|^\beta)/sqrt(h^2+k^2) <= (h^2+k^2)^((\alpha+\beta-1)/2) $
Allora pongo $alpha + beta > 1$... è giusto?
Io ho questo problema
E prima calcolo le derivate parziali tramite la definizione e trovo che valgono zero.
Allora devo vedere per quali valori dei parametri
$ lim_{(h,k) to 0} (f(h,k)-f(0,0))/(sqrt(h^2+k^2)) = (|h|^\alpha|k|^\beta)/(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
E ragiono così
$ 0 < |h|^\alpha <= (sqrt(h^2+k^2))^\alpha$
$ 0 < |k|^\beta <= (sqrt(h^2+k^2))^\beta$
allora
$ 0 < |h|^\alpha |k|^\beta <= (h^2+k^2)^((\alpha+\beta)/2) $
$ 0 < (|h|^\alpha |k|^\beta)/sqrt(h^2+k^2) <= (h^2+k^2)^((\alpha+\beta-1)/2) $
Allora pongo $alpha + beta > 1$... è giusto?
"Sergio":
[quote="franc3sc0"]Allora devo vedere per quali valori dei parametri
$ lim_{(h,k) to 0} (f(h,k)-f(0,0))/(sqrt(h^2+k^2)) = (|h|^\alpha|k|^\beta)/(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
Guarda che ti sei dimenticato un pezzo: \(f(h,k)\) non è \(|h|^\alpha|k|^\beta\), ma \(\frac{|h|^\alpha |k|^\beta}{h^2+k^2}\)
P.S.: L'esercizio è identico, anche per la veste tipografica, a uno contenuto nel Marcellini - Sbordone, Esercitazioni di Matematica, 2° Volume, parte prima (pag. 160). Per la soluzione rimanda a un metodo illustrato nella soluzione dell'esercizio 3.35, alle pagine 135-136. Svista a parte, potresti trovare utile dare un'occhiata.[/quote]
Oh cacchio, hai ragione ho dimenticato quel pezzo... Ahah. Comunque se non lo avessi dimenticato, sarebbe andata bene
Grazie mille
Salve a tutti.
Ho nuovamente da calcolare un limite. Il mio prof lo calcola facendo delle maggiorazioni e dice che trattare il limite con le coordinate polari non è agevole. Ma perchè non sarebbe agevole?
$lim_{(x,y) to (0,0)} (x^3y^2)/(x^4+y^6) = lim_{rho to 0}(rho*cos^3(theta)sen^2(theta))/(cos^4(theta)+rho^2sen^6(theta))$
Allora se $theta!=pi/2+kpi$ il limite vale 0. Altrimenti, se $theta=pi/2+kpi$ la funzione vale 0.
Sbaglio qualcosa?
Ho nuovamente da calcolare un limite. Il mio prof lo calcola facendo delle maggiorazioni e dice che trattare il limite con le coordinate polari non è agevole. Ma perchè non sarebbe agevole?
$lim_{(x,y) to (0,0)} (x^3y^2)/(x^4+y^6) = lim_{rho to 0}(rho*cos^3(theta)sen^2(theta))/(cos^4(theta)+rho^2sen^6(theta))$
Allora se $theta!=pi/2+kpi$ il limite vale 0. Altrimenti, se $theta=pi/2+kpi$ la funzione vale 0.
Sbaglio qualcosa?
"franc3sc0":
$lim_{(x,y) to (0,0)} (x^3y^2)/(x^4+y^6) = lim_{rho to 0}(rho*cos^3(theta)sen^2(theta))/(cos^4(theta)+rho^2sen^6(theta))$
Allora se $theta!=pi/2+kpi$ il limite vale 0. Altrimenti, se $theta=pi/2+kpi$ la funzione vale 0.
Ciao Francesco le funzioni in due variabili mi piacciono molto e seguo volentieri il tuo ragionamento, dimmi se ho capito:
giacchè al denominatore $cos^4(theta)$ non è moltiplicato per $rho$ non si annulla quando $rho$ va a zero, di conseguenza al numeratore ho 0 (perchè c'è $rho$ che diventa 0 e annulla tutto), mentre al denominatore ho un valore finito (compreso tra 0 e 1) perchè $rho$ che diventa 0 annulla solo una parte di denominatore $rho^2sen^6(theta)$ l'importante è che $theta$ non sia $pi/2+kpi$ perchè in quel caso si annullerebbe anche il denominatore.
Però la nostra funzione credo che non esista comunque in corrispondenza dell'origine, o mi sfugge qualcosa?
"gio73":
[quote="franc3sc0"]
$lim_{(x,y) to (0,0)} (x^3y^2)/(x^4+y^6) = lim_{rho to 0}(rho*cos^3(theta)sen^2(theta))/(cos^4(theta)+rho^2sen^6(theta))$
Allora se $theta!=pi/2+kpi$ il limite vale 0. Altrimenti, se $theta=pi/2+kpi$ la funzione vale 0.
Ciao Francesco le funzioni in due variabili mi piacciono molto e seguo volentieri il tuo ragionamento, dimmi se ho capito:
giacchè al denominatore $cos^4(theta)$ non è moltiplicato per $rho$ non si annulla quando $rho$ va a zero, di conseguenza al numeratore ho 0 (perchè c'è $rho$ che diventa 0 e annulla tutto), mentre al denominatore ho un valore finito (compreso tra 0 e 1) perchè $rho$ che diventa 0 annulla solo una parte di denominatore $rho^2sen^6(theta)$ l'importante è che $theta$ non sia $pi/2+kpi$ perchè in quel caso si annullerebbe anche il denominatore.
Però la nostra funzione credo che non esista comunque in corrispondenza dell'origine, o mi sfugge qualcosa?[/quote]
Sì scusa, la funzione in (0,0) è definita e vale 0. Io sto provando che la funzione è continua in (0,0)
Non riesco a capire se il mio ragionamento è sbagliato..
"franc3sc0":
Non riesco a capire se il mio ragionamento è sbagliato..
Ciao Francesco, ho apprezzato questo tuo intervento, non ho capito il senso del pm.
Ad ogni modo ti dico che mi piace immaginare la forma del grafico delle funzioni in due variabili, ma non mi sento di promuovere o bocciare il tuo ragionamento. In effetti Branca ha fatto notare che quando passi in coordinate polari il limite esiste se è indipendente da $theta$ e noi abbiamo qualche difficoltà quando $theta=+-pi/2$.
Ora ti espongo il mio modo di ragionare: la nostra funzione vale 0 lungo gli assi coordinati, è positiva nel I e IV quadrante, negativa nel II e III, via via che ci allontaniamo dall'origine il valore della nostra funzione diventa sempre più piccolo in valore assoluto perchè il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore.
Fino qui ti sembra sensato?
"gio73":
[quote="franc3sc0"]Non riesco a capire se il mio ragionamento è sbagliato..
Ciao Francesco, ho apprezzato questo tuo intervento, non ho capito il senso del pm.
Ad ogni modo ti dico che mi piace immaginare la forma del grafico delle funzioni in due variabili, ma non mi sento di promuovere o bocciare il tuo ragionamento. In effetti Branca ha fatto notare che quando passi in coordinate polari il limite esiste se è indipendente da $theta$ e noi abbiamo qualche difficoltà quando $theta=+-pi/2$.
Ora ti espongo il mio modo di ragionare: la nostra funzione vale 0 lungo gli assi coordinati, è positiva nel I e IV quadrante, negativa nel II e III, via via che ci allontaniamo dall'origine il valore della nostra funzione diventa sempre più piccolo in valore assoluto perchè il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore.
Fino qui ti sembra sensato?[/quote]
Sì, certo..
Ho provato a vedere cosa succede lungo le rette che passano per l'origine, quelle con l'equazione tipo $y=mx$, e mi pare che si ottengano le stesse informazioni che abbiamo ottenuto col passaggio in coordinate polari, giacchè con quel tipo di equazione indichiamo tutte le rette che passano per l'origine tranne l'asse y (in quel caso m dovrebbe essere infinito).
Ad ogni modo per farmi un'idea di come si comporta la nostra funzione ho provato a tagliarla col piano perpendicolare al piano $xy$ e passante per la bisettrice di I e III quadrante (la retta di equazione $y=x$). Mi è venuta una funzione passante per l'origine, dispari, con un massimo assoluto in corrispondenza del punto P(1;1), dove la funzione vale 1/2, e un minimo assoluto (-1/2) nel punto simmetrico rispetto all'origine.
Ho l'impressione che la nostra funzione si discosti poco dal piano $xy$.
Ad ogni modo per farmi un'idea di come si comporta la nostra funzione ho provato a tagliarla col piano perpendicolare al piano $xy$ e passante per la bisettrice di I e III quadrante (la retta di equazione $y=x$). Mi è venuta una funzione passante per l'origine, dispari, con un massimo assoluto in corrispondenza del punto P(1;1), dove la funzione vale 1/2, e un minimo assoluto (-1/2) nel punto simmetrico rispetto all'origine.
Ho l'impressione che la nostra funzione si discosti poco dal piano $xy$.
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