Limiti a due variabili
Salve a tutti.
Sto cominciando a studiare per l'esame di Analisi 2. E per quanto la teoria non mi sembra essere poi così complicata, mi trovo un po' in difficoltà per gli esercizi. Cioè, mi spiego meglio.
Non capisco i criteri che vengono usati quando si calcolano i limiti a due variabili.
Moltissimi ricorrono alle catene di disuguaglianze per potere applicare il teorema dei carabinieri, altri utilizzano coordinate polari.. Quali sono delle linee guida efficaci?
Ad esempio, questo limite.
Cosa vuole dire dicendo "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Perchè il passaggio alle coordinate polari mi assicura che il limite sia 0?
Grazie a tutti.
Francesco
Sto cominciando a studiare per l'esame di Analisi 2. E per quanto la teoria non mi sembra essere poi così complicata, mi trovo un po' in difficoltà per gli esercizi. Cioè, mi spiego meglio.
Non capisco i criteri che vengono usati quando si calcolano i limiti a due variabili.
Moltissimi ricorrono alle catene di disuguaglianze per potere applicare il teorema dei carabinieri, altri utilizzano coordinate polari.. Quali sono delle linee guida efficaci?
Ad esempio, questo limite.
Cosa vuole dire dicendo "calcolando il limite lungo le rette passanti per l'origine"? Perchè il passaggio alle coordinate polari mi assicura che il limite sia 0?
Grazie a tutti.
Francesco
Risposte
"gio73":
Ho provato a vedere cosa succede lungo le rette che passano per l'origine, quelle con l'equazione tipo $y=mx$, e mi pare che si ottengano le stesse informazioni che abbiamo ottenuto col passaggio in coordinate polari, giacchè con quel tipo di equazione indichiamo tutte le rette che passano per l'origine tranne l'asse y (in quel caso m dovrebbe essere infinito).
Ad ogni modo per farmi un'idea di come si comporta la nostra funzione ho provato a tagliarla col piano perpendicolare al piano $xy$ e passante per la bisettrice di I e III quadrante (la retta di equazione $y=x$). Mi è venuta una funzione passante per l'origine, dispari, con un massimo assoluto in corrispondenza del punto P(1;1), dove la funzione vale 1/2, e un minimo assoluto (-1/2) nel punto simmetrico rispetto all'origine.
Ho l'impressione che la nostra funzione si discosti poco dal piano $xy$.
Ok, quindi vorresti dirmi che in $(0,0)$ $f(x,y)$ non tende a 0?
No, da come me la sto immaginando la nostra funzione tende a 0 nell'origine da qualsiasi direzione, ma come te non ne ho la certezza: sono qui per imparare.
"gio73":
No, da come me la sto immaginando la nostra funzione tende a 0 nell'origine da qualsiasi direzione, ma come te non ne ho la certezza: sono qui per imparare.
Ah ok! Credevo conoscessi la risposta e volevi farmici arrivare. Comunque maggiorando la funzione, al mio prof viene che f(x,y) tende a 0 in (0,0)
Il limite fa effettivamente \(0\).
Non so che stima abbia fatto il tuo professore; si può procedere usando la disuguaglianza di Young
\[
ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q,\qquad a,b\geq 0,\ p,q\geq 1,\ 1/p + 1/q = 1\,.
\]
Nel nostro caso, usando \(a= |x|^3\), \(b = y^2\), basta scegliere \(p\) e \(q\) in modo tale che \(1/p + 1/q = 1\), \(p>4/3\), \(q>3\).
Ad esempio, scegliendo \(q=7/2\) (e di conseguenza \(p = 7/5\)), si ottiene la stima
\[
|x^3y^2| \leq \frac{5}{7} |x|^{21/5} + \frac{2}{7} |y|^7,
\]
da cui si ottiene
\[
|f(x,y)| \leq \frac{5}{7} |x|^{1/5} + \frac{2}{7} |y|.
\]
Non so che stima abbia fatto il tuo professore; si può procedere usando la disuguaglianza di Young
\[
ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q,\qquad a,b\geq 0,\ p,q\geq 1,\ 1/p + 1/q = 1\,.
\]
Nel nostro caso, usando \(a= |x|^3\), \(b = y^2\), basta scegliere \(p\) e \(q\) in modo tale che \(1/p + 1/q = 1\), \(p>4/3\), \(q>3\).
Ad esempio, scegliendo \(q=7/2\) (e di conseguenza \(p = 7/5\)), si ottiene la stima
\[
|x^3y^2| \leq \frac{5}{7} |x|^{21/5} + \frac{2}{7} |y|^7,
\]
da cui si ottiene
\[
|f(x,y)| \leq \frac{5}{7} |x|^{1/5} + \frac{2}{7} |y|.
\]
"Rigel":
Il limite fa effettivamente \(0\).
Non so che stima abbia fatto il tuo professore; si può procedere usando la disuguaglianza di Young
\[
ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q,\qquad a,b\geq 0,\ p,q\geq 1,\ 1/p + 1/q = 1\,.
\]
Nel nostro caso, usando \(a= |x|^3\), \(b = y^2\), basta scegliere \(p\) e \(q\) in modo tale che \(1/p + 1/q = 1\), \(p>4/3\), \(q>3\).
Ad esempio, scegliendo \(q=7/2\) (e di conseguenza \(p = 7/5\)), si ottiene la stima
\[
|x^3y^2| \leq \frac{5}{7} |x|^{21/5} + \frac{2}{7} |y|^7,
\]
da cui si ottiene
\[
|f(x,y)| \leq \frac{5}{7} |x|^{1/5} + \frac{2}{7} |y|.
\]
Grazie Rigel. Ma perchè il mio prof sconsiglia il passaggio alle coordinate polari?
"franc3sc0":
Ma perchè il mio prof sconsiglia il passaggio alle coordinate polari?
Perché in effetti riuscire a stimare il \(\sup_{\theta\in[0,2\pi]}\ldots\) è un discreto macello; se vuoi provaci.
"Rigel":
[quote="franc3sc0"] Ma perchè il mio prof sconsiglia il passaggio alle coordinate polari?
Perché in effetti riuscire a stimare il \(\sup_{\theta\in[0,2\pi]}\ldots\) è un discreto macello; se vuoi provaci.[/quote]
Non capisco.. perchè dovrei stimare il sup?
Hai che \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l\) se e solo se
\[
\lim_{\rho\to 0+}\left[ \sup_{\theta\in [0,2\pi]} \left|f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l\right|\right] = 0.
\]
Vedi bene che c'è un \(\sup\) da calcolare (o almeno da maggiorare).
\[
\lim_{\rho\to 0+}\left[ \sup_{\theta\in [0,2\pi]} \left|f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l\right|\right] = 0.
\]
Vedi bene che c'è un \(\sup\) da calcolare (o almeno da maggiorare).
"Brancaleone":
Cosa diversa è invece se la $\rho$ rimane, come nell'esempio seguente:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{\rho \to 0^+} (\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta)/\rho^2= \rho \cos^2 \theta \sin \theta \le \rho = 0$
Perché si può maggiorare con $\rho$?
Perché le due funzioni trigonometriche valgono al massimo uno.
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