Limiti a due variabili
Salve forum! Ho alcuni dubbi sui limiti a due o più variabili.
In particolare, di solito riesco ad arrivare al risultato, ma non so se i passaggi che faccio sono formalmente accettabili, in un esame ad esempio.
Inoltre, ho questo dubbio:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-e^(xy^2))/sqrt(x^2+2y^2)=lim_((x,y)->(0,0))-(xy^2)/sqrt(x^2+2y^2)=$
$ lim_((rho,theta)->(0,0))-(rho^3cos(theta)sin^2(theta))/sqrt(rho^2(cos^2(theta)+2sin^2(theta)))= lim_((rho,theta)->(0,0))-(rho^2cos(theta)sin^2(theta))/sqrt((cos^2(theta)+2sin^2(theta))=0 $
Dove sbaglio? Wolfram mi dice che il limite non esiste, eppure questa roba fa zero indipendentemente da $theta$, uniformemente rispetto a $theta$.
Grazie a tutti quelli che vorranno rispondere!
In particolare, di solito riesco ad arrivare al risultato, ma non so se i passaggi che faccio sono formalmente accettabili, in un esame ad esempio.
Inoltre, ho questo dubbio:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-e^(xy^2))/sqrt(x^2+2y^2)=lim_((x,y)->(0,0))-(xy^2)/sqrt(x^2+2y^2)=$
$ lim_((rho,theta)->(0,0))-(rho^3cos(theta)sin^2(theta))/sqrt(rho^2(cos^2(theta)+2sin^2(theta)))= lim_((rho,theta)->(0,0))-(rho^2cos(theta)sin^2(theta))/sqrt((cos^2(theta)+2sin^2(theta))=0 $
Dove sbaglio? Wolfram mi dice che il limite non esiste, eppure questa roba fa zero indipendentemente da $theta$, uniformemente rispetto a $theta$.
Grazie a tutti quelli che vorranno rispondere!
Risposte
io non sono così sicuro si possa fare la stima asintotica che hai fatto al primo passaggio, questo perchè l'infinitesimo di $x$ non è diciamo lo stesso di $y$ e, come non puoi usare le stime asintotiche per limiti di funzioni del tipo ($x^2+y^3$) non puoi neanche per quello penso, puoi piuttosto usare la maggiorazione in forma polare, ma alla fine non trovi il maggiorante indipendente da $theta$ che va a zero, proverei perciò a restringermi su qualche curva e dimostrare che non esiste piuttosto....
Intanto grazie per la risposta!
Pensavo anche io che il problema fosse l'asintotico, ma per ovviare a questo problema di infinitesimi, potrei scrivere prima in coordinate polari e a quel punto utilizzare la stima asintotica.
In ogni caso non riesco a trovare una curva su cui il limite venga diverso da $0$, tant'è che anche plottando su più software di calcolo non vedo discontinuità in $0$ o su curve particolari...
EDIT: ho il dubbio di non saper usare wolfram, perché su un limite di cui ho dimostrato la non esistenza (il seguente)
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2y^2+(x-y)^2) $ si annulla per molte direzioni, ma se ad esempio mi avvicino da $y=x$ ottengo
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2y^2+(x-y)^2)=lim_((x,y)->(0,0))(x^4)/x^4=1 $
Wolfram invece sostiene che il limite esista e sia effettivamente $0$.
Sbaglio io?
Pensavo anche io che il problema fosse l'asintotico, ma per ovviare a questo problema di infinitesimi, potrei scrivere prima in coordinate polari e a quel punto utilizzare la stima asintotica.
In ogni caso non riesco a trovare una curva su cui il limite venga diverso da $0$, tant'è che anche plottando su più software di calcolo non vedo discontinuità in $0$ o su curve particolari...
EDIT: ho il dubbio di non saper usare wolfram, perché su un limite di cui ho dimostrato la non esistenza (il seguente)
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2y^2+(x-y)^2) $ si annulla per molte direzioni, ma se ad esempio mi avvicino da $y=x$ ottengo
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2y^2+(x-y)^2)=lim_((x,y)->(0,0))(x^4)/x^4=1 $
Wolfram invece sostiene che il limite esista e sia effettivamente $0$.
Sbaglio io?
UP, anyone?
Mi rispondo da solo: ho chiesto al professore, che ha detto (e qui cito): "Mai fidarsi delle macchine" 
Il risultato corretto secondo lui è il mio, e il calcolatore sbaglia, forse perché cerca anche nei complessi. In ogni caso, lo sviluppo asintotico era corretto e legittimo.
Grazie a tutti comunque!
Il risultato corretto secondo lui è il mio, e il calcolatore sbaglia, forse perché cerca anche nei complessi. In ogni caso, lo sviluppo asintotico era corretto e legittimo.
Grazie a tutti comunque!
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