Limiti a 2 variabili
Ciao a tutti,
ho dei dubbi riguardo lo sviluppo di limiti a 2 variabili (x,y)->(0,0).
Credo di aver capito che esistono differenti metodi e vorrei conferma da voi su quanto segue.
METODO 1.
pongo y=mx e sostituisco nel limite. Se il limite risulta in funzione di m vuol dire che non ha soluzioni.
METODO 2.
pongo x= tcos0 e y=tsen0 con t che tende a zero (0 usato in sen e cos si riferisce a theta). Se il limite risulta in funzione di theta vuol dire che non ha soluzioni
METODO 3.
pongo x=0 e sviluppo il limite con y che tende a 0, poi pongo y=0 e svolgo il limite con x che tende a 0. Se i 2 risultati corrispondono è quella la soluzione, altrimenti non ammette soluzioni.
Sono corretti? grazie
ho dei dubbi riguardo lo sviluppo di limiti a 2 variabili (x,y)->(0,0).
Credo di aver capito che esistono differenti metodi e vorrei conferma da voi su quanto segue.
METODO 1.
pongo y=mx e sostituisco nel limite. Se il limite risulta in funzione di m vuol dire che non ha soluzioni.
METODO 2.
pongo x= tcos0 e y=tsen0 con t che tende a zero (0 usato in sen e cos si riferisce a theta). Se il limite risulta in funzione di theta vuol dire che non ha soluzioni
METODO 3.
pongo x=0 e sviluppo il limite con y che tende a 0, poi pongo y=0 e svolgo il limite con x che tende a 0. Se i 2 risultati corrispondono è quella la soluzione, altrimenti non ammette soluzioni.
Sono corretti? grazie
Risposte
Io personalmente utilizzo il secondo metodo, che poi sarebbe la trasformazione in coordinate polari....
....comunque non è sufficiente verificare che il limite non dipenda da $\theta$ per dire che esiste.....bisogna verificare anche che esista l'intorno $\rho$, infatti esistono casi in cui il limite della funzione $f(x,y)$ tende ad un valore $l$ per qualsiasi direzione $\theta$ si scelga, ma andando a definire $\rho$ ci si accorge che non esiste, quindi il limite non può esistere....un'analisi più accurata mostrerà che ci sono linee (non rette) lungo le quali il limite risulterà $!=l$.
Per questo motivo, per essere sicuro, oltre a verificare la NON dipendanza dal parametro $\theta$, devi anche verificare che l'intorno circolare di raggio $\rho$ eista.
....comunque non è sufficiente verificare che il limite non dipenda da $\theta$ per dire che esiste.....bisogna verificare anche che esista l'intorno $\rho$, infatti esistono casi in cui il limite della funzione $f(x,y)$ tende ad un valore $l$ per qualsiasi direzione $\theta$ si scelga, ma andando a definire $\rho$ ci si accorge che non esiste, quindi il limite non può esistere....un'analisi più accurata mostrerà che ci sono linee (non rette) lungo le quali il limite risulterà $!=l$.
Per questo motivo, per essere sicuro, oltre a verificare la NON dipendanza dal parametro $\theta$, devi anche verificare che l'intorno circolare di raggio $\rho$ eista.
e gli altri 2 metodi invece non hanno questa necessità? sinceramente potendo scegliere il metodo da adoperare preferisco sempre il più semplice e immediato..
Il 3) è sbagliato; non è detto che se il limite esiste lungo i due assi allora esiste.
"Luca.Lussardi":
Il 3) è sbagliato; non è detto che se il limite esiste lungo i due assi allora esiste.
Infatti, possiamo prendere la funzione che vale 1 sugli assi e 0 altrove..
Ora sono un po' incasinato...appena riesco vi posto un bel esempio.....a dopo!
si ma qualcuno mi spiega come si completano? mi dite che non sono sufficienti e mi date delle spiegazioni teoriche per me incomprensibili ma lasciate il problema irrisolto.. cosa devo fare? come si completano i 3 metodi?
siete più intenti a dimostrarmi che avete ragione che a darmi una spiegazione pratica di come procedere
Ci credo che avete ragione
siete più intenti a dimostrarmi che avete ragione che a darmi una spiegazione pratica di come procedere
Ci credo che avete ragione
L'esempio classico è :
$lim_((x,y)->0,0)(x^2y)/(x^4+y^2)$
trasformando in coordinate polari si avrà:
$lim_(\rho\rightarrow0)(\rho^3cos^3\thetasen\theta)/(\rho^2(\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta))$
semplificando abbiamo:
$lim_(\rho\rightarrow0)(\rhocos^3\thetasen\theta)/((\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta))$
si vede subito che il limite varrà $0$ per ogni $\theta$ fissato, quindi il limite, se ci fermassimo qui, esisterebbe....ma se continuamo con un'analisi più accurata e cerchiamo l'esistenza dell'intorno $\rho$ troviamo che:
$|(\rhocos^3\thetasen\theta)/(\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta)|<\epsilon$ (1)
cioè: $\rhocos^3\theta|sen\theta|<\rho^2\epsiloncos^4\theta+\epsilonsen^2\theta$
ossia: $\rho^2\epsiloncos^4\theta-\rhocos^3\theta|sen\theta|+\epsilonsen^2\theta>0$
risolvendo l'equazione di secondo grado in $\rho$ otteniamo:
$\rho_1=(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))$
e
$\rho_2=(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1+sqrt(1-4\epsilon^2))$
supposto come lecito $1-4\epsilon^2>0$, ossia $\epsilon<1/2$
a questo punto le soluzioni della disequazione iniziale (che ho chiamato (1)) saranno date da:
$\rho>\rho_2$ e per $\rho<\rho_1$ dato che la condizione $\rho>\rho_2$ non interessa ci rimane solo:
$\rho<(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))$
la quale però ci accorgiamo che il membro di sinistra si può annullare (ad esempio per $\theta=\pi$ o $\theta=0$)
dunque abbiamo che $\rho<0$ il che è impossibile infatti un'intorno circolare con raggio $0$ è un punto e non un intorno.....da questo si deduce che anche se il limite lungo ogni direzione passante per $(0,0)$ vale $0$, in realtà non esiste perchè non ammatte un intorno circolare di raggio $\rho$.
Infatti se proviamo a seguire la linea $y=x^2$ e sostituiamo in
$lim_((x,y)->0,0)(x^2y)/(x^4+y^2)$ otteniamo:
$lim_((x,y)->0,0)(x^4)/(2x^4)=1/2$ che $!=0$ dunque il limite non esiste!!!
Il fatto che non esiste l'intorno, quindi ci ha fornito "un'allarme", infatti non può esistere un'intorno che non contenga un arco di parabola....in conclusione per essere certi dell'esistenza di un limite a due variabili e necessario verificare anche l'esistenza dell'intorno!
$lim_((x,y)->0,0)(x^2y)/(x^4+y^2)$
trasformando in coordinate polari si avrà:
$lim_(\rho\rightarrow0)(\rho^3cos^3\thetasen\theta)/(\rho^2(\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta))$
semplificando abbiamo:
$lim_(\rho\rightarrow0)(\rhocos^3\thetasen\theta)/((\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta))$
si vede subito che il limite varrà $0$ per ogni $\theta$ fissato, quindi il limite, se ci fermassimo qui, esisterebbe....ma se continuamo con un'analisi più accurata e cerchiamo l'esistenza dell'intorno $\rho$ troviamo che:
$|(\rhocos^3\thetasen\theta)/(\rho^2cos^4\theta+sen^2\theta)|<\epsilon$ (1)
cioè: $\rhocos^3\theta|sen\theta|<\rho^2\epsiloncos^4\theta+\epsilonsen^2\theta$
ossia: $\rho^2\epsiloncos^4\theta-\rhocos^3\theta|sen\theta|+\epsilonsen^2\theta>0$
risolvendo l'equazione di secondo grado in $\rho$ otteniamo:
$\rho_1=(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))$
e
$\rho_2=(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1+sqrt(1-4\epsilon^2))$
supposto come lecito $1-4\epsilon^2>0$, ossia $\epsilon<1/2$
a questo punto le soluzioni della disequazione iniziale (che ho chiamato (1)) saranno date da:
$\rho>\rho_2$ e per $\rho<\rho_1$ dato che la condizione $\rho>\rho_2$ non interessa ci rimane solo:
$\rho<(|sen\theta|)/(2\epsiloncos^2\theta)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))$
la quale però ci accorgiamo che il membro di sinistra si può annullare (ad esempio per $\theta=\pi$ o $\theta=0$)
dunque abbiamo che $\rho<0$ il che è impossibile infatti un'intorno circolare con raggio $0$ è un punto e non un intorno.....da questo si deduce che anche se il limite lungo ogni direzione passante per $(0,0)$ vale $0$, in realtà non esiste perchè non ammatte un intorno circolare di raggio $\rho$.
Infatti se proviamo a seguire la linea $y=x^2$ e sostituiamo in
$lim_((x,y)->0,0)(x^2y)/(x^4+y^2)$ otteniamo:
$lim_((x,y)->0,0)(x^4)/(2x^4)=1/2$ che $!=0$ dunque il limite non esiste!!!
Il fatto che non esiste l'intorno, quindi ci ha fornito "un'allarme", infatti non può esistere un'intorno che non contenga un arco di parabola....in conclusione per essere certi dell'esistenza di un limite a due variabili e necessario verificare anche l'esistenza dell'intorno!
impossibile per me capire
Non è difficile, devi costruirti l'intorno come fai per una funzione di una variabile...ossia per una variabile si ha:
$lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=l$
$l$ è limite se $AA$ reale $\epsilon>0$ esiste un altro numero reale positivo $\delta$ tale che
$|f(x)-l|<\epsilon$ $AA$ $x$ $in$ $X$ con $0 < |x-x_0 |<\delta$
e così ti puoi costruire gli intorni.....
Per una funzione a due variabili espressa in coordinate polari si ha:
$lim_(\rho\rightarrow0)f(\rho,\theta)=l$
$l$ è limite se $AA$ $\theta$ fissato e $AA$ $\epsilon>0$ esiste un altro numero reale positivo $\rho$ tale che:
$|f(\rho,\theta)-l|<\epsilon$ con $0<=\theta<=2\pi$ e $0<\rho<\rho_(\epsilon)(\theta)$
Quindi per trovare $\rho_(\epsilon)(\theta)$ presa la disequazione $|f(\rho,\theta)-l|<\epsilon$, devi isolare $\rho$ in modo da recuperare $\rho$ in funzione del valore di $\epsilon$ e $\theta$, una volta trovato, essendo $\rho<\rho_(\epsilon)(\theta)$ si ha che $\rho$ deve essere sempre minore del più piccolo valore che può assumere $\rho_(\epsilon)(\theta)$...(ecco perchè nell'esempio che ho postato se il più piccolo valore di $\rho_(\epsilon)(\theta)$ è $0$ allora l'intorno $\rho$ non esiste o al più è un punto).
Ti conviene trovare un buon libro di testo e studiarlo per bene!
P.S: Scusa nel caso ci fossero imprecisioni, ma ti sto scrivendo molto frettolosamente...sono ancora in ufficio e devo scappare a casa!
$lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=l$
$l$ è limite se $AA$ reale $\epsilon>0$ esiste un altro numero reale positivo $\delta$ tale che
$|f(x)-l|<\epsilon$ $AA$ $x$ $in$ $X$ con $0 < |x-x_0 |<\delta$
e così ti puoi costruire gli intorni.....
Per una funzione a due variabili espressa in coordinate polari si ha:
$lim_(\rho\rightarrow0)f(\rho,\theta)=l$
$l$ è limite se $AA$ $\theta$ fissato e $AA$ $\epsilon>0$ esiste un altro numero reale positivo $\rho$ tale che:
$|f(\rho,\theta)-l|<\epsilon$ con $0<=\theta<=2\pi$ e $0<\rho<\rho_(\epsilon)(\theta)$
Quindi per trovare $\rho_(\epsilon)(\theta)$ presa la disequazione $|f(\rho,\theta)-l|<\epsilon$, devi isolare $\rho$ in modo da recuperare $\rho$ in funzione del valore di $\epsilon$ e $\theta$, una volta trovato, essendo $\rho<\rho_(\epsilon)(\theta)$ si ha che $\rho$ deve essere sempre minore del più piccolo valore che può assumere $\rho_(\epsilon)(\theta)$...(ecco perchè nell'esempio che ho postato se il più piccolo valore di $\rho_(\epsilon)(\theta)$ è $0$ allora l'intorno $\rho$ non esiste o al più è un punto).
Ti conviene trovare un buon libro di testo e studiarlo per bene!
P.S: Scusa nel caso ci fossero imprecisioni, ma ti sto scrivendo molto frettolosamente...sono ancora in ufficio e devo scappare a casa!
ma scusa, siccome di tutto questo il prof non ha mai parlato.. non è possibile che una combo dei miei 3 metodi è in grado di fornirmi l'informazione con certezza?
Io ho potuto notare che negli esercizi dei miei colleghi si applicano sempre 2 metodi e l'esercizio si conclude.. è possibile svilupparli in combo e trovare la soluzione anzichè usare il metodo degli intorni?
Io ho potuto notare che negli esercizi dei miei colleghi si applicano sempre 2 metodi e l'esercizio si conclude.. è possibile svilupparli in combo e trovare la soluzione anzichè usare il metodo degli intorni?
"CyberCrasher":
Io ho potuto notare che negli esercizi dei miei colleghi si applicano sempre 2 metodi e l'esercizio si conclude
Quali metodi utilizzano i tuoi colleghi?
No, nessuna combinazione dei tuoi 3 metodi ti può garantire l'esistenza del limite. La strada che ha postato Alexp è una condizione necessaria e sufficiente quindi non ci scappi, ed è scritto bene perchè centra il punto: l'uniformità del limite in coordinate polari rispetto alla variabile angolare.
"Alexp":
[quote="CyberCrasher"]
Io ho potuto notare che negli esercizi dei miei colleghi si applicano sempre 2 metodi e l'esercizio si conclude
Quali metodi utilizzano i tuoi colleghi?[/quote]
i primi 2 metodi e si fermano.. boh il fatto è che dagli appunti ogni pagina contiene 3 esercizi svolti quindi lo sviluppo è molto rapido non come quello postato da voi. Non metto in dubbio che quello che dite sia vero però magari il nostro prof per semplificarci la vita vuole verificati solo i 2-3 metodi postati da me perchè li lascia semplici? boh
Cmq non escludo la possibilità che gli appunti possano essere di qualche collega che ha studiato con superficialità.
Fidati, ci sono casi in cui con i tuoi 3 metodi non vai da nessuna parte.....
Non può essere che al tuo prof basti quello per dire che il limite c'è, non lo posso credere, potresti anche concludere una cosa falsa. ti consiglio di andare a ricevimento da lui.
okok vi credo 
Ma vorrei capire una cosa.. utilizzando il metodo della restrizione y=mx, è immediatamente possibile capire la continuità della funzione in quel punto?
Perchè ho notato che negli appunti c'è questo metodo che poi non viene approfondito come avete suggerito voi, però effettivamente non si parla di risultato del limite, ma si trae solo la conclusione che è continua, quindi se voi mi dite che con questo metodo posso capire la continuità di f(x,y) allora puo darsi che noi non andiamo oltre perchè ci interessa solo questa informazione..
Ma vorrei capire una cosa.. utilizzando il metodo della restrizione y=mx, è immediatamente possibile capire la continuità della funzione in quel punto?
Perchè ho notato che negli appunti c'è questo metodo che poi non viene approfondito come avete suggerito voi, però effettivamente non si parla di risultato del limite, ma si trae solo la conclusione che è continua, quindi se voi mi dite che con questo metodo posso capire la continuità di f(x,y) allora puo darsi che noi non andiamo oltre perchè ci interessa solo questa informazione..
La continuità è equivalente al fatto che il limite esista e sia il valore della funzione in quel punto, se il punto non è isolato, quindi no, il problema è lo stesso. Il metodo delle restrizioni (che grosso modo sta in tutti e 3 i metodi che hai elencato) può concludere l'esercizio solo se trovi due restrizioni con limiti distinti. Se invece lungo ogni restrizione rettilinea il limite viene lo stesso allora puoi solo congetturare che il limite per intero ci sia ma non è sufficiente per nulla il discorso restrizione.
Un appunto: non devi credere a me o a Alexp, è la matematica che è così.
Un appunto: non devi credere a me o a Alexp, è la matematica che è così.
Tutto parte dal fatto che noi dobbiamo verificare che una funzione sia differenziabile o meno. Le condizioni sono: l'esistenza dei limiti finiti:
$lim_(h->0)(f(x+h,y)-f(x,y))/h$
$lim_(k->0)(f(x,y+k)-f(x,y))/k$
e questi li so verificare (limite con una sola incognita). Poi ci sarebbe la terza condizione:
$lim_((h_1,h_2)->(0,0))(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-F'_x(x,y)*h_1-F'_y(x,y)*h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
ed è questo il frutto dei nostri problemi
Per verificare che il limite sia uguale a 0 quindi non basta eseguire uno dei 3 metodi da me postati o una loro combo?
EDIT: Negli esercizi dei colleghi vedo che si pone h2=h1m e se il limite viene 0 indifferentemente da m si dice che è differenziabile.. boh
$lim_(h->0)(f(x+h,y)-f(x,y))/h$
$lim_(k->0)(f(x,y+k)-f(x,y))/k$
e questi li so verificare (limite con una sola incognita). Poi ci sarebbe la terza condizione:
$lim_((h_1,h_2)->(0,0))(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-F'_x(x,y)*h_1-F'_y(x,y)*h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
ed è questo il frutto dei nostri problemi
Per verificare che il limite sia uguale a 0 quindi non basta eseguire uno dei 3 metodi da me postati o una loro combo?
EDIT: Negli esercizi dei colleghi vedo che si pone h2=h1m e se il limite viene 0 indifferentemente da m si dice che è differenziabile.. boh
No, purtroppo non è possibile con i tuoi 3 metodi o con una combo di essi.....
il limite:
è sempre un limite di due variabili e come tale lo devi "trattare", quindi la strada corretta è quella che più volte ti abbiamo ribadito....da li non scappi!
il limite:
"CyberCrasher":
$lim_((h_1,h_2)->(0,0))(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-F'_x(x,y)*h_1-F'_y(x,y)*h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
è sempre un limite di due variabili e come tale lo devi "trattare", quindi la strada corretta è quella che più volte ti abbiamo ribadito....da li non scappi!
Noto una certa ostinazione a voler far funzionare una cosa che non può funzionare. Rinnovo il consiglio a CyberCrasher: vai dal prof a ricevimento se non sei sicuro di quello che ti diciamo.
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