Limiti
Salve, ho un problema con questo limite che non riesco a risolvere
$ lim_(x -> 0) (sin x -xe^x+ x^2cosx)/(log(1+x^3)) $ applico del l hopital
$ lim_(x -> 0) (cosx-e^x-xe^x+2xcosx-x^2senx)/((3x)/(1+x^3)) $ derivo dinuovo
$ lim_(x -> 0) (-senx-e^x-e^x-xe^x+2cosx-2xsenx-2xsenx-x^2cosx)/((3x+3x^3-9x^2)/(1+x^3)^2) $
e qui mi è venuto un dubbio è possibile fare questa somma? $ -2e^x-xe^x=-2xe^x $
se ho sbagliato procedimento potreste indicarmi come agire?
$ lim_(x -> 0) (sin x -xe^x+ x^2cosx)/(log(1+x^3)) $ applico del l hopital
$ lim_(x -> 0) (cosx-e^x-xe^x+2xcosx-x^2senx)/((3x)/(1+x^3)) $ derivo dinuovo
$ lim_(x -> 0) (-senx-e^x-e^x-xe^x+2cosx-2xsenx-2xsenx-x^2cosx)/((3x+3x^3-9x^2)/(1+x^3)^2) $
e qui mi è venuto un dubbio è possibile fare questa somma? $ -2e^x-xe^x=-2xe^x $
se ho sbagliato procedimento potreste indicarmi come agire?
Risposte
"m91":
e qui mi è venuto un dubbio è possibile fare questa somma? $ -2e^x-xe^x=-2xe^x $
No, è sbagliata ovviamente.
"m91":
Salve, ho un problema con questo limite che non riesco a risolvere
$ lim_(x -> 0) (sin x -xe^x+ x^2cosx)/(log(1+x^3)) $ applico del l hopital
$ lim_(x -> 0) (cosx-e^x-xe^x+2xcosx-x^2senx)/((3x)/(1+x^3)) $ derivo dinuovo
$ lim_(x -> 0) (-senx-e^x-e^x-xe^x+2cosx-2xsenx-2xsenx-x^2cosx)/((3x+3x^3-9x^2)/(1+x^3)^2) $
Perché ti complichi la vita? Prima di tutto il denominatore è asintotico a $x^3$ per $x -> 0$.
$ lim_(x -> 0) (sin x -xe^x+ x^2cosx)/x^3 $
In secondo luogo direi che potrebbe essere più conveniente usare Taylor per sviluppare il numeratore...
allora ho provato ad usare taylor arrestandomi al primo ordine
$ lim_(x -> 0) (x-x+x^2)/x^3 $ con risultato infinito
questa procedura è giusta?
$ lim_(x -> 0) (x-x+x^2)/x^3 $ con risultato infinito
questa procedura è giusta?
A me pare di no. Lo sviluppo corretto del numeratore è
[tex]$x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)+x^2\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=-\frac{2x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
EDIT: Ho corretto le costanti sbagliate.
[tex]$x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)+x^2\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=-\frac{2x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
EDIT: Ho corretto le costanti sbagliate.
allora arrestandomi al 2 ordine gli sviluppi sono questi
$ senx = x-(x^3)/(3!) +o(x^3) $
$ e^x = 1+x+(x^2)/2! + o(x^2) $
$ cosx = 1-(x^2)/(2!) +o(x^2) $
un passo ala volta moltiplicando mi verrebbe
$ lim_(x -> 0) x-(x^3)/(3!)+o(x^3)-x-x^2+(x^3)/2+o(x^3)+x^2+x^4/2+o(x^4) $
mi spieghereste gentilmente qual è l errore che commetto?
$ senx = x-(x^3)/(3!) +o(x^3) $
$ e^x = 1+x+(x^2)/2! + o(x^2) $
$ cosx = 1-(x^2)/(2!) +o(x^2) $
un passo ala volta moltiplicando mi verrebbe
$ lim_(x -> 0) x-(x^3)/(3!)+o(x^3)-x-x^2+(x^3)/2+o(x^3)+x^2+x^4/2+o(x^4) $
mi spieghereste gentilmente qual è l errore che commetto?
Ho corretto sopra. Lo sviluppo giusto è quello che c'è adesso.
ho risolto, ringrazio tutti per la dritta!
salve vorrei avere dei chiarimenti perchè non capisco cosa c'è che non va nei miei passaggi
allora oltra al fatto che $ loga(1+x^3) $ è asintotico a $ x^3 $ vedo anche che $ sinx $ è asintotico al suo argomento
quindi
$ lim_(x -> 0) ((x-xe^x+x^2cosx)/(x^3)) $ a questo punto vorrei mettere in evidenza -x al numeratore di modo da avere $ lim_(x -> 0) (-x(e^x-1)+x^2cosx)/(x^3) $ e^x-1 è asintotico a x quindi.. $ lim_(x -> 0) (-x^2+x^2cosx)/(x^3) $ di qui in poi non continuo perchè penso che ci sia già qualche errore..help!
allora oltra al fatto che $ loga(1+x^3) $ è asintotico a $ x^3 $ vedo anche che $ sinx $ è asintotico al suo argomento
quindi
$ lim_(x -> 0) ((x-xe^x+x^2cosx)/(x^3)) $ a questo punto vorrei mettere in evidenza -x al numeratore di modo da avere $ lim_(x -> 0) (-x(e^x-1)+x^2cosx)/(x^3) $ e^x-1 è asintotico a x quindi.. $ lim_(x -> 0) (-x^2+x^2cosx)/(x^3) $ di qui in poi non continuo perchè penso che ci sia già qualche errore..help!
@ck91: Fino a qui non è sbagliato, solamente che al prossimo passaggio al numeratore elimini il coseno perché tende ad uno, e quindi ti rimane un numeratore formato solamente di o-piccoli, e quindi la forma rimane indeterminata e non puoi calcolare il limite.
Non so se mi sono spiegato, se non capisci ci riprovo
Non so se mi sono spiegato, se non capisci ci riprovo
e non si può risolvere tramite gli o piccolo ??
se puoi farmi vedere come devo procedere aiutami perchè sto impazzendo..se è possibile evitando taylor che non lo so usare
Non puoi risolvere se ti rimangono solo gli o-piccoli perché non sai cosa siano.
Ad esempio, è vero che [tex]x^2 = o(x)[/tex] ma anche che [tex]x^4 = o(x)[/tex], e nel primo caso il tuo limite viene [tex]\infty[/tex], nel secondo viene [tex]0[/tex].
Ad esempio, è vero che [tex]x^2 = o(x)[/tex] ma anche che [tex]x^4 = o(x)[/tex], e nel primo caso il tuo limite viene [tex]\infty[/tex], nel secondo viene [tex]0[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo