Limiti
$\lim_{x \to +\infty} frac {senx^2}{sqrt(x)}$ . E' facile, devo solo verificare il risultato, perchè un appunto ne riporta uno diverso. A me viene $+\infty$, vi dico anche come ho provato a fare (fermo restando che devo ancora imparare molte cose):
$\lim_{x \to +\infty} frac {senx^2}{sqrt(x)}$ = $\lim_{x \to +\infty} frac{x^2}{sqrt(x)}$ = $\lim_{x \to +\infty} x^(3/2)$ = $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} frac {senx^2}{sqrt(x)}$ = $\lim_{x \to +\infty} frac{x^2}{sqrt(x)}$ = $\lim_{x \to +\infty} x^(3/2)$ = $+\infty$
Risposte
No, assolutamente errato. Quello che hai fatto tu andrebbe bene se $x\rightarrow 0$ (in modo da usare il limite notevole per la funzione ${\sin x}/x$. Nel caso in questione, invece, devi osservare che il limite della funzione seno non esiste per $x\rightarrow +\infty$ (la funzione seno è limitata e oscillante nell'intervallo $[-1,1]$, quindi non puoi stabilire quale sia il suo valore all'infinito.) Tuttavia la funzione $x^\alpha$, con $\alpha>0$ tende a $+\infty$ per $x\rightarrow+\infty$. Questo implica che nel limite in questione hai la seguente situazione
$|\frac{\sin x^2}{\sqrt{x}}|\le \frac{1}{\sqrt{x}}\rightarrow 0^+$
e quindi tale è il valore del limite!
$|\frac{\sin x^2}{\sqrt{x}}|\le \frac{1}{\sqrt{x}}\rightarrow 0^+$
e quindi tale è il valore del limite!
C'è il limite della funzione:
$frac {sen ( \pi cosx)}{x^2}$, per $x$ tendente a $0$.
Io provo a risolvere così:
$\lim_{x \to 0} frac {\pi cosx}{x^2}$ = $\lim_{x \to 0} frac {\pi cosx}{x}$ $(1)$
Porrei quest'uguaglianza dal momento che la funzione $f(x)= \pi cos x$ è "mai nulla intorno a 0".
Se vado a sviluppare, mi viene che la funzione non è regolare, e che esistono diversi i limiti
$\lim_{x \to 0^+} frac {\pi cosx}{x}$ =$ +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} frac {\pi cosx}{x}$ =$ - \infty$
Gli ultimi calcoli considerateli come pure ipotesi, poichè ripeto di non avere ancora gli strumenti giusti.
A questo punto, dovrei concludere che la funzione non è regolare. Mi sorge il dubbio però legato all'applicabilità dell'uguaglianza $(1)$. Il teorema, se letto bene, dice che tale sostituzione può essere fatta poichè, date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$, la funzione rapporto per $x$ tendente a un certo valore è regolare se e solo se lo è, nello stesso punto, la funzione rapporto tra $f_1(x)$ e $g_1(x)$, con le ultime due funzioni asintotiche alle prime due.
Sempre che abbia fatto bene (ne dubito) sopra, perchè concludere che il secondo rapporto non sia regolare non implica che lo sia anche il primo?
(Difatti avrei una soluzione, ricavata da un altro modo di procedere).
$frac {sen ( \pi cosx)}{x^2}$, per $x$ tendente a $0$.
Io provo a risolvere così:
$\lim_{x \to 0} frac {\pi cosx}{x^2}$ = $\lim_{x \to 0} frac {\pi cosx}{x}$ $(1)$
Porrei quest'uguaglianza dal momento che la funzione $f(x)= \pi cos x$ è "mai nulla intorno a 0".
Se vado a sviluppare, mi viene che la funzione non è regolare, e che esistono diversi i limiti
$\lim_{x \to 0^+} frac {\pi cosx}{x}$ =$ +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} frac {\pi cosx}{x}$ =$ - \infty$
Gli ultimi calcoli considerateli come pure ipotesi, poichè ripeto di non avere ancora gli strumenti giusti.
A questo punto, dovrei concludere che la funzione non è regolare. Mi sorge il dubbio però legato all'applicabilità dell'uguaglianza $(1)$. Il teorema, se letto bene, dice che tale sostituzione può essere fatta poichè, date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$, la funzione rapporto per $x$ tendente a un certo valore è regolare se e solo se lo è, nello stesso punto, la funzione rapporto tra $f_1(x)$ e $g_1(x)$, con le ultime due funzioni asintotiche alle prime due.
Sempre che abbia fatto bene (ne dubito) sopra, perchè concludere che il secondo rapporto non sia regolare non implica che lo sia anche il primo?
(Difatti avrei una soluzione, ricavata da un altro modo di procedere).
Per questo limite devi procedere così (o meglio, questo è uno dei modi di procedere): poiché
$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ per $x\rightarrow 0$ e quindi $\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$
allora
$\sin(\pi\cos x)\sim\sin(\pi-\frac{\pi x^2}{2})=\sin(\frac{\pi x^2}{2})$
e se poni
$\pi x^2/2=t$ per $x\rightarrow 0$ hai $t\rightarrow 0^+$ per cui
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\pi\cos x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\pi x^2/2)}{x^2}=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{\pi\sin t}{2t}=\frac{\pi}{2}$
utilizzando il limite notevole della funzione ${\sin t}/t$.
$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ per $x\rightarrow 0$ e quindi $\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$
allora
$\sin(\pi\cos x)\sim\sin(\pi-\frac{\pi x^2}{2})=\sin(\frac{\pi x^2}{2})$
e se poni
$\pi x^2/2=t$ per $x\rightarrow 0$ hai $t\rightarrow 0^+$ per cui
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\pi\cos x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\pi x^2/2)}{x^2}=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{\pi\sin t}{2t}=\frac{\pi}{2}$
utilizzando il limite notevole della funzione ${\sin t}/t$.
Raga', mi aiutate con questo limite che proprio non ci riesco?
$lim_(x \to + infty) [(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)]^x$, con $\alpha in RR$.
Vi dico come ho provato a risolverlo.
Dunque, la prima cosa che ho provato a fare è stato considerare il teorema secondo cui, se $f$ e quindi $f_1$ è positiva in un intorno del punto, e $lim_(x \to x_0) (f(x)) = \lambda$, con $\lambda in \bar RR \ {1}$, allora $f^g$ è regolare in $x_0$ se lo è $f_1 ^ (g_1)$ e si ha:
$lim(x \to x_0) (f^g) = lim(x \to x_0) (f_1^(g_1))$.
Ma qui il problema è che non riesco a dimostrare che la funzione sia positiva, oltre a non riuscire a dimostrare, ammesso che lo sia (è tutto da verificare), che la funzione abbia un limite $\lambda$.
Provo a trasformare $f(x)$ in una funzione (1+ f(x)), cercando di sfruttare il fatto che se una funzione $f$ è infinitesima in $x_0$, e mai nulla intorno a $x_0$, allora si ha che:
$lim(x \to x_0) (1+ f(x))^g(x) = lim(x \to x_0) (1+ f_1(x))^g_1(x)$
Dimenticavo di precisare che le funzioni indicate con apici $1$ sono funzioni alle quali $f, g$ sono asintotiche.
Io riesco a dimostrare che la funzione sia infinitesima solo per $\alpha-1 <1$, ma non riesco a dimostrare che la funzione sia mai nulla intorno a $+\infty$.
Siccome penso che ci sia qualcosa di più semplice sotto, allora vi chiedo aiuto.
$lim_(x \to + infty) [(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)]^x$, con $\alpha in RR$.
Vi dico come ho provato a risolverlo.
Dunque, la prima cosa che ho provato a fare è stato considerare il teorema secondo cui, se $f$ e quindi $f_1$ è positiva in un intorno del punto, e $lim_(x \to x_0) (f(x)) = \lambda$, con $\lambda in \bar RR \ {1}$, allora $f^g$ è regolare in $x_0$ se lo è $f_1 ^ (g_1)$ e si ha:
$lim(x \to x_0) (f^g) = lim(x \to x_0) (f_1^(g_1))$.
Ma qui il problema è che non riesco a dimostrare che la funzione sia positiva, oltre a non riuscire a dimostrare, ammesso che lo sia (è tutto da verificare), che la funzione abbia un limite $\lambda$.
Provo a trasformare $f(x)$ in una funzione (1+ f(x)), cercando di sfruttare il fatto che se una funzione $f$ è infinitesima in $x_0$, e mai nulla intorno a $x_0$, allora si ha che:
$lim(x \to x_0) (1+ f(x))^g(x) = lim(x \to x_0) (1+ f_1(x))^g_1(x)$
Dimenticavo di precisare che le funzioni indicate con apici $1$ sono funzioni alle quali $f, g$ sono asintotiche.
Io riesco a dimostrare che la funzione sia infinitesima solo per $\alpha-1 <1$, ma non riesco a dimostrare che la funzione sia mai nulla intorno a $+\infty$.
Siccome penso che ci sia qualcosa di più semplice sotto, allora vi chiedo aiuto.
Prova a tener presente che $[(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)]^x=e^(x*ln[(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)])$ ed a calcolare il:
$lim_(x \to +oo) x*ln[(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)] \quad$.
$lim_(x \to +oo) x*ln[(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)] \quad$.
Sì, ho dimenticato di dire che è stata la prima cosa cui ho pensato, anche se mi vengono sempre forme indeterminate.
Limiti notevoli non riesco a vederne, funzioni per sfruttare il teorema delle funzioni composte nemmeno.
Limiti notevoli non riesco a vederne, funzioni per sfruttare il teorema delle funzioni composte nemmeno.
Supponiamo $alpha<3$; troviamo:
$ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=ln[(1+1/x^(3-alpha))/(1+1/x^2+(sin x)/x^3)]=$
$\quad \quad =ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)=$
$\quad \quad =ln(1+1/x^(3-alpha))-ln[1+1/x^2(1+(sin x)/x)]=$
ora $ln(1+y)=y+o(y)$, quindi:
$ln(1+1/x^3)=1/x^(3-alpha)+o(1/x^(3-alpha)) \quad$ e $\quad ln[1+1/x^2(1+(sin x)/x)]=1/x^2+(sin x)/x^3+o((sin x)/x^3)$
ed:
$ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)=1/x^(3-alpha)-1/x^2-(sin x)/x^3+o("qualcosa")$
Ora distinguiamo i casi:
a) $3-alpha >2$, ossia $alpha <1$, allora $ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)$ è un infinitesimo d'ordine $2$;
b) $3-alpha<=2$, ossia $alpha >=1$, allora $ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)$ è un infinitesimo d'ordine $3-alpha$;
quindi:
$lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]= lim_(x \to +oo) (ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3))/(1/x)$
al denominatore hai un infinitesimo d'ordine $1$, mentre al numeratore hai un infinitesimo d'ordine $2$ nel caso a) oppure d'ordine $3-alpha$ nel caso b).
Ne consegue che nel caso a), ossia per $alpha<1$, hai $lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=0$; mentre nel caso b), ossia per $alpha >=1$ hai:
$lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=\{(0, ", se " alpha <2),(l!=0 " finito", ", se " alpha=2),(+oo, ", se " alpha >2):} \quad$.
Il resto dell'esercizio è facile.
Ovviamente potrei aver scritto vaccate anche grosse a quest'ora; quindi controlla che è meglio.
$ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=ln[(1+1/x^(3-alpha))/(1+1/x^2+(sin x)/x^3)]=$
$\quad \quad =ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)=$
$\quad \quad =ln(1+1/x^(3-alpha))-ln[1+1/x^2(1+(sin x)/x)]=$
ora $ln(1+y)=y+o(y)$, quindi:
$ln(1+1/x^3)=1/x^(3-alpha)+o(1/x^(3-alpha)) \quad$ e $\quad ln[1+1/x^2(1+(sin x)/x)]=1/x^2+(sin x)/x^3+o((sin x)/x^3)$
ed:
$ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)=1/x^(3-alpha)-1/x^2-(sin x)/x^3+o("qualcosa")$
Ora distinguiamo i casi:
a) $3-alpha >2$, ossia $alpha <1$, allora $ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)$ è un infinitesimo d'ordine $2$;
b) $3-alpha<=2$, ossia $alpha >=1$, allora $ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3)$ è un infinitesimo d'ordine $3-alpha$;
quindi:
$lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]= lim_(x \to +oo) (ln(1+1/x^(3-alpha))-ln(1+1/x^2+(sin x)/x^3))/(1/x)$
al denominatore hai un infinitesimo d'ordine $1$, mentre al numeratore hai un infinitesimo d'ordine $2$ nel caso a) oppure d'ordine $3-alpha$ nel caso b).
Ne consegue che nel caso a), ossia per $alpha<1$, hai $lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=0$; mentre nel caso b), ossia per $alpha >=1$ hai:
$lim_(x\to +oo)x*ln[(x^3+x^alpha)/(x^3+x+sin x)]=\{(0, ", se " alpha <2),(l!=0 " finito", ", se " alpha=2),(+oo, ", se " alpha >2):} \quad$.
Il resto dell'esercizio è facile.
Ovviamente potrei aver scritto vaccate anche grosse a quest'ora; quindi controlla che è meglio.
"turtle87":
Raga', mi aiutate con questo limite che proprio non ci riesco?
$lim_(x \to + infty) [(x^3 + x^\alpha)/(x^3 + senx + x)]^x$, con $\alpha in RR$.
Oppure, una volta supposto $\alpha <3$, potresti vederlo come $[ (1 + (x^(\alpha) -senx -x)/(x^3 +senx +x))^((x^3 +senx +x)/(x^(\alpha) -senx -x)) ]^((x^(\alpha) -senx -x)/(x^3 +senx +x)x)($ ed applicare il limite notevole dell'esponenziale...
Perchè questo limite viene così:
$lim_(x \to + \infty) [(1 - 1/(x+2))^(-(x+2))]^(-x/(x+2)) = e^-1$?
Cioè, io riesco a vedere che la base della potenza, cioè il termine in parentesi quadre, tende a $e^-1$. Ora, non riesco a dimostrare che tutto il limite tende a tale valore.
Ho pensato allora a trovare una funzione asintotica all'esponente, tendente a 1 quando esso (l'esponente) tende a $+ \infty$. Ho provato a considerare altre trasformazioni aventi tutte come oggetto la ricerca su tali forme asintotiche. Ho anche provato a verificare se tutta la funzione fosse asintotica alla sola base, ma non ci sono riuscito.
$lim_(x \to + \infty) [(1 - 1/(x+2))^(-(x+2))]^(-x/(x+2)) = e^-1$?
Cioè, io riesco a vedere che la base della potenza, cioè il termine in parentesi quadre, tende a $e^-1$. Ora, non riesco a dimostrare che tutto il limite tende a tale valore.
Ho pensato allora a trovare una funzione asintotica all'esponente, tendente a 1 quando esso (l'esponente) tende a $+ \infty$. Ho provato a considerare altre trasformazioni aventi tutte come oggetto la ricerca su tali forme asintotiche. Ho anche provato a verificare se tutta la funzione fosse asintotica alla sola base, ma non ci sono riuscito.
Poni $x+2=-t$ (giusto per semplificare un po' la scrittura): allora hai il limite
$\lim_{t\rightarrow-\infty}[(1+1/t)^t]^{-1-2/t}=[e]^{-1-0}$
e quindi il risultato.
$\lim_{t\rightarrow-\infty}[(1+1/t)^t]^{-1-2/t}=[e]^{-1-0}$
e quindi il risultato.
Raga', è l'ultimo della serata.
$lim_(x \to + infty) (sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x))))/ (sqrt(1+x))$.
Non so proprio come trattare questi radicali annidati. Non trovo asintotiche al radicale di sopra, e non so modificarlo senza andare a finire in Antartide.
$lim_(x \to + infty) (sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x))))/ (sqrt(1+x))$.
Non so proprio come trattare questi radicali annidati. Non trovo asintotiche al radicale di sopra, e non so modificarlo senza andare a finire in Antartide.
Intanto così
$lim_(x \to + infty) sqrt((x + sqrt(x + sqrt(x)))/(1+x))=lim_(x \to + infty) sqrt(x/(x+1) + sqrt((x + sqrt(x))/(1+x)^2))=$.
$lim_(x \to + infty) sqrt((x + sqrt(x + sqrt(x)))/(1+x))=lim_(x \to + infty) sqrt(x/(x+1) + sqrt((x + sqrt(x))/(1+x)^2))=$.
Comunque, anche con questo aiuto (per il quale ringrazio 
) non risolvo il problema. Non riesco ad applicare alcun teorema sull'asintoticità. Comunque continuo a provarci, magari trovo qualche identità che può aiutarmi.
) non risolvo il problema. Non riesco ad applicare alcun teorema sull'asintoticità. Comunque continuo a provarci, magari trovo qualche identità che può aiutarmi.
$(x + sqrt(x))/(1+x)^2$ questo termine tende a zero perchè il grado del denominatore è superiore a quello del numeratore
questo $x/(x+1)$ tende a 1, che altro ti serve?
questo $x/(x+1)$ tende a 1, che altro ti serve?
Ho questa curiosità, vi chiedo di sapere dove sbaglio.
Ho questo limite. Premesso che non so risolverlo così.
$lim_(x \to 1) ((1-x) (tg(\pix/2))$.
La prima funzione è un "o piccolo" di "x", Come pure la seconda è un "o piccolo" di $\pix/2$, e quindi di $x$.
Tutta la funzione è un "o piccolo" di $x$. Pertanto, dovrebbe tendere a $0$. Si avrebbe infatti:
$lim_(x \to 1) (o(x))/x) = lim_(x \to 1) (o (x))$, in quanto le due funzioni per $x$ tendente a $1$ tendono allo stesso punto.
Ho questo limite. Premesso che non so risolverlo così.
$lim_(x \to 1) ((1-x) (tg(\pix/2))$.
La prima funzione è un "o piccolo" di "x", Come pure la seconda è un "o piccolo" di $\pix/2$, e quindi di $x$.
Tutta la funzione è un "o piccolo" di $x$. Pertanto, dovrebbe tendere a $0$. Si avrebbe infatti:
$lim_(x \to 1) (o(x))/x) = lim_(x \to 1) (o (x))$, in quanto le due funzioni per $x$ tendente a $1$ tendono allo stesso punto.
"turtle87":Stupidaggine evidente.
Come pure la seconda è un "o piccolo" di $\pix/2$
[mod="Fioravante Patrone"]Ancora una volta ti invito a evitare di scaricare inutilmente sugli utenti volenterosi del forum la fatica di scoprire errori marchiani.[/mod]
Raga', aiutatemi con questo limite, anche se "banale".
$\lim (x \rightarrow 0) (sqrt(1 - cos5x))/(5x)$ .
Secondo i miei calcoli il limite c'è, e vale $sqrt(1/2)$. Secondo la soluzione, la funzione non è regolare.
Mi andava di discuterlo un po' questo limite. Dunque, il limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$. La prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di "portare sotto la radice" il valore $5x$, e di utilizzare il limite notevole $\lim (x \rightarrow 0)(1 - cosx)/x^2 = 1/2$. Infatti, non posso utilizzare il teorema sul limite di un rapporto il cui denominatore tende a $0$. Inoltre, ho provato a confrontare il dominio della funzione $(sqrt(1 - cos5x))/(5x)$ con quello della funzione $sqrt((1 - cos5x)/(5x)^2)$ e, se non ho sbagliato i calcoli (cosa anche probabile, vista l'ora), i due domini coincidono. In definitiva, ho creduto (erroneamente a quanto pare) di poter considerare le due espressioni come la stessa funzione.
Tra le altre cose, lo stesso testo presenta il limite dell' ultima delle due funzioni che ho riportato con $x$ tendente sempre a $0$, e la funzione è regolare.
Vi chiedo di aiutarmi con questo limite, ed inoltre, sempre che non vi sia troppo un "abuso" da parte mia, vi chiedo anche di spiegarmi quale regola è stata utilizzata per la risoluzione (o meglio, per decretare la non risolvibilità) di questo limite, poichè evidentemente c'è una lacuna da parte mia in tal senso. Grazie in anticipo a chi eventualmente mi aiuterà.
$\lim (x \rightarrow 0) (sqrt(1 - cos5x))/(5x)$ .
Secondo i miei calcoli il limite c'è, e vale $sqrt(1/2)$. Secondo la soluzione, la funzione non è regolare.
Mi andava di discuterlo un po' questo limite. Dunque, il limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$. La prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di "portare sotto la radice" il valore $5x$, e di utilizzare il limite notevole $\lim (x \rightarrow 0)(1 - cosx)/x^2 = 1/2$. Infatti, non posso utilizzare il teorema sul limite di un rapporto il cui denominatore tende a $0$. Inoltre, ho provato a confrontare il dominio della funzione $(sqrt(1 - cos5x))/(5x)$ con quello della funzione $sqrt((1 - cos5x)/(5x)^2)$ e, se non ho sbagliato i calcoli (cosa anche probabile, vista l'ora), i due domini coincidono. In definitiva, ho creduto (erroneamente a quanto pare) di poter considerare le due espressioni come la stessa funzione.
Tra le altre cose, lo stesso testo presenta il limite dell' ultima delle due funzioni che ho riportato con $x$ tendente sempre a $0$, e la funzione è regolare.
Vi chiedo di aiutarmi con questo limite, ed inoltre, sempre che non vi sia troppo un "abuso" da parte mia, vi chiedo anche di spiegarmi quale regola è stata utilizzata per la risoluzione (o meglio, per decretare la non risolvibilità) di questo limite, poichè evidentemente c'è una lacuna da parte mia in tal senso. Grazie in anticipo a chi eventualmente mi aiuterà.
1. Visto che $x != \sqrt(x^2)$, come dovresti sapere, i conti che hai fatto sono sbagliati
2. E' evidente che conviene e basta studiare i limiti da sx e dx
2. E' evidente che conviene e basta studiare i limiti da sx e dx
Visto che $x≠sqrt(x^2)$, come dovresti sapere, i conti che hai fatto sono sbagliati
E se, invece di trovare $x$ avessi trovato $|x|$?
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