Limiti
ciao a tutti mi sapreste dire il procedimento di questi limiti:
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^2) + sinx = + infty$
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^4) + sinx = " non esiste"$
la prima parte del primo limite tende ad infinito il $\lim_{x \to \+ infty} sinx$ non esiste quindi il risultato è $+oo$.
il secondo limite non capisco perchè non esista.
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^2) + sinx = + infty$
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^4) + sinx = " non esiste"$
la prima parte del primo limite tende ad infinito il $\lim_{x \to \+ infty} sinx$ non esiste quindi il risultato è $+oo$.
il secondo limite non capisco perchè non esista.
Risposte
[mod="Gugo82"]Mi sono permesso di correggere il codice MathML del tuo post (c'erano dei "simboli di dollaro" di troppo 
); spero di aver interpretato bene le funzioni sotto il segno di limite.[/mod]
Occhio, che quel "quindi" è preceduto da un'ipotesi sballata...
Non è il fatto che $\lim_{x \to \+ infty} sinx$ non esista che ti consente di asserire $\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^2) + sinx = +oo$.
Pensaci bene.
Guarda bene cosa sta succedendo: il primo addendo ha limite? E quale? Ed il secondo (praticamente il $sinx$) ha limite?
); spero di aver interpretato bene le funzioni sotto il segno di limite.[/mod]"Manu11":
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^2) + sinx = + infty \quad$ [...]
la prima parte del primo limite tende ad infinito; il $\lim_{x \to \+ infty} sinx$ non esiste quindi il risultato è $+oo$.
Occhio, che quel "quindi" è preceduto da un'ipotesi sballata...
Non è il fatto che $\lim_{x \to \+ infty} sinx$ non esista che ti consente di asserire $\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^2) + sinx = +oo$.
Pensaci bene.
"Manu11":
$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^4) + sinx = " non esiste" \quad$ [...]
il secondo limite non capisco perchè non esista.
Guarda bene cosa sta succedendo: il primo addendo ha limite? E quale? Ed il secondo (praticamente il $sinx$) ha limite?
@Manu11: Perché avevi scritto così le formule? Riesci a visualizzarle correttamente adesso che Gugo le ha sistemate?
Grazie per aver sistemato la formula, avevo fatto confusione nell'utilizzare il codice.
Non riesco ancora a capire la soluzione dei due limiti, mi potresti dire cosa sbaglio e quale è il ragionamento giusto.
Guarda bene cosa sta succedendo: il primo addendo ha limite? E quale? Ed il secondo (praticamente il $sinx$) ha limite?[/quote]
provo a rispondere alle domande: si dovrebbe essere 0 mentre non esiste il $\lim_{x \to \+ infty}sinx
Non riesco ancora a capire la soluzione dei due limiti, mi potresti dire cosa sbaglio e quale è il ragionamento giusto.
"Gugo82":
[quote="Manu11"]$\lim_{x \to \+ infty}(x^3 + sinx)/(2x^4) + sinx = " non esiste" \quad$ [...]
il secondo limite non capisco perchè non esista.
Guarda bene cosa sta succedendo: il primo addendo ha limite? E quale? Ed il secondo (praticamente il $sinx$) ha limite?[/quote]
provo a rispondere alle domande: si dovrebbe essere 0 mentre non esiste il $\lim_{x \to \+ infty}sinx
Ok il limite di $(x^3+sin x)/(2x^4)$ in $+oo$ è sicuramente $0$, mentre non esiste il limite di $sinx$.
Visto che questa eventualità non è contemplata tra quelle elencate nel teorema sul limite della somma, viene da pensare che il limite di $(x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ non esiste: una volta che ci siamo fatti questa idea, cerchiamo di provarla.
Dalla teoria sappiamo che se il $lim_(x\to +oo) (x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ esistesse, allora comunque fissassimo due successioni $(x_n),(y_n)$ con $x_n,y_n to +oo$, sarebbero uguali i $lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n$; perciò, pre mostrare che il limite non esiste, ci basta determinare due successioni positivamente divergenti $(x_n),(y_n)$ tali che i due limiti $lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n$ esistano e siano differenti.
Notiamo che $sin x$ continua ad "oscillare" in ogni intorno di $+oo$ (ossia in ogni semiretta $[M,+oo[$) ed a prendere tutti i valori nell'intervallo $[-1,1]$: ad esempio nei punti della successione $x_n:=pi/2+2npi$ risulta $sin x_n=1$, mentre nei punti della successione $y_n:=2npi$ risulta $sin y_n=0$.
Allora scelte tali successioni troviamo:
$lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n=1$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n=0$
e ciò, per quanto detto in precedenza, ci consente di dire che effettivamente $lim_(x\to +oo) (x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ non esiste.
Visto che questa eventualità non è contemplata tra quelle elencate nel teorema sul limite della somma, viene da pensare che il limite di $(x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ non esiste: una volta che ci siamo fatti questa idea, cerchiamo di provarla.
Dalla teoria sappiamo che se il $lim_(x\to +oo) (x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ esistesse, allora comunque fissassimo due successioni $(x_n),(y_n)$ con $x_n,y_n to +oo$, sarebbero uguali i $lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n$; perciò, pre mostrare che il limite non esiste, ci basta determinare due successioni positivamente divergenti $(x_n),(y_n)$ tali che i due limiti $lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n$ esistano e siano differenti.
Notiamo che $sin x$ continua ad "oscillare" in ogni intorno di $+oo$ (ossia in ogni semiretta $[M,+oo[$) ed a prendere tutti i valori nell'intervallo $[-1,1]$: ad esempio nei punti della successione $x_n:=pi/2+2npi$ risulta $sin x_n=1$, mentre nei punti della successione $y_n:=2npi$ risulta $sin y_n=0$.
Allora scelte tali successioni troviamo:
$lim_n (x_n^3+sin x_n)/(2x_n^4)+ sin x_n=1$ e $lim_n (y_n^3+sin y_n)/(2y_n^4)+ sin y_n=0$
e ciò, per quanto detto in precedenza, ci consente di dire che effettivamente $lim_(x\to +oo) (x^3+sin x)/(2x^4)+ sin x$ non esiste.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo