Limiti

[fed_27]

ciao a tutti ho questo limite
$lim_(x->0)(log(tanx)-log(e^(pix)-1)$
vorrei sapere solo come cominciare

mentre ho un secondo limite , riesco a trovare il risultato ma non combacia con il grafico della funzione
$lim_(x->0)((e^(-2x^2) - cos(2x))/(xsenx-senx^2))$
limiti notevoli al denominatore e mi trovo $(1/6)x^4$ al numeratore mi trovo $2x^4$ quindi 12 ma sul grafico trovo 8

grazie

[maurer]

Beh, intanto il primo limite esiste solo per $x\to 0^+$, perché se $x<0$ allora $tan(x)<0$ e $log(tan(x))$ perde di significato.
A questo punto puoi sfruttare i limiti notevoli:
$e^(\pi*x)-1 \sim_{0} \pi*x$ e $tan(x) \sim_{0} x rarr log(tan(x)) \sim_{0} log(x)$
A quel punto puoi concludere (ricordando le proprietà dei logaritmi...)

[fed_27]

"maurer":Beh, intanto il primo limite esiste solo per $x\to 0^+$, perché se $x<0$ allora $tan(x)<0$ e $log(tan(x))$ perde di significato.
A questo punto puoi sfruttare i limiti notevoli:
$e^(\pi*x)-1 \sim_{0} \pi*x$ e $tan(x) \sim_{0} x \Rarr log(tan(x)) \sim_{0} log(x)$
A quel punto puoi concludere (ricordando le proprietà dei logaritmi...)

che
correggimi se sbaglio

$log(pix/x) $ quindi $log(pi) $?

[maurer]

Beh, veramente avresti $log(x)-log(\pi*x)=log(x/(\pi*x))=log(1/\pi)=-log(\pi)$, comunque l'idea è quella...

[deserto1]

Per il secondo io ho sviluppato tramite Taylor così:

$e^(-2x^(2))= 1-2x^2+2x^4+o(x^4)$

$cos(2x)= 1-2x^2+2/3x^4+o(x^4)$

$xsen(x)= x^2-x^4/6+o(x^4)$

$sen(x^2)= x^2+o(x^4)$

da cui mi segue:

$lim_(x->0)((e^(-2x^(2))-cos(2x))/(xsen(x)-sen(x^2)))=$

$=lim_(x->0)((1-2x^2+2x^4-(1-2x^2+2/3x^4))/(x^2-x^4/6-(x^2)))=$

$=lim_(x->0)((2x^4-2/3x^4)/(-x^4/6))=-8$

[fed_27]

"deserto":Per il secondo io ho sviluppato tramite Taylor così:

$e^(-2x^(2))= 1-2x^2+2x^4+o(x^4)$

$cos(2x)= 1-2x^2+2/3x^4+o(x^4)$

$xsen(x)= x^2-x^4/6+o(x^4)$

$sen(x^2)= x^2+o(x^4)$

da cui mi segue:

$lim_(x->0)((e^(-2x^(2))-cos(2x))/(xsen(x)-sen(x^2)))=$

$=lim_(x->0)((1-2x^2+2x^4-(1-2x^2+2/3x^4))/(x^2-x^4/6-(x^2)))=$

$=lim_(x->0)((2x^4-2/3x^4)/(-x^4/6))=-8$

non mi trovo con il segno

[Feliciano1]

...

[deserto1]

Insisto: il limite viene $-8$. Ho controllato anche testando la funzione con un grafico.

[Feliciano1]

Dunque tale limite è 8

Questo è un grafico della funzione



Riguardo gli sviluppi già postati l'errore è nello sviluppo di $(sinx)^2$
che dovrebbe correttamente essere $=(x-x^3/6+o(x^3))^2=x^2-x^4/3+o(x^4)$

Andando a sostituire tutto viene chiaramente 8 (positivo)


UN MOMENTO UN MOMENTO (chiedo scusa per aver insistito)

ma al denominatore abbiamo $sin(x^2)$ oppure $(sinx)^2$, perchè nel primo caso ha ragione deserto e il risultato è -8

[deserto1]

Tutto sta nell'interpretazione di ciò che intende fed27 con l'espressione $sin x^2$: io la interpreto come $sin (x^2)$, tu e lui come $(sin x)^2$. In base ad interpretazioni diverse abbiamo sviluppi diversi e di conseguenza risultati diversi.

[fed_27]

"deserto":Tutto sta nell'interpretazione di ciò che intende fed27 con l'espressione $sin x^2$: io la interpreto come $sin (x^2)$, tu e lui come $(sin x)^2$. In base ad interpretazioni diverse abbiamo sviluppi diversi e di conseguenza risultati diversi.

la prima

[Feliciano1]

mentre tu scrivevi mi sono reso conto della cosa e ho modificato il mio rpecedente messaggio