Limiti

[thedarkhero]

Come si risolve $lim_(x->oo )(cos(x)/a^x)$ con a parametro >0?

[itpareid]

io proverei a vederla come $lim_(x->oo)(cos(x) 1/a^(x))$ e poi vedere come si comporta per a minore, uguale o maggiore di 1

[Lord K]

"thedarkhero":Come si risolve $lim_(x->oo )(cos(x)/a^x)$ con a parametro >0?

Palesemente risulta:

$lim_(x->oo )(cos(x)/a^x) = 0$

Questo perchè:

$cos(x)/a^x < 1/a^x \to 0$

Chiaro?

[itpareid]

No, non mi è chiaro: per esempio se $a$ è strettamente minore di 1 non torna, e non torna neanche il segno della disuguaglianza (secondo me è $\le$)

[thedarkhero]

Lord K, quello che dici va bene per a>1 (basta notare che è una funzione limitata fratto una funzione che tende a infinito) ma per a<=1?

[Lord K]

Per $a<1$ non esiste limite, anche perchè:

$lim text{sup} (cosx)/a^x = +oo$

$lim text{inf} (cosx)/a^x = -oo$

e se $a=1$:

$lim text{sup} cosx= +1$

$lim text{inf} cosx = -1$

[thedarkhero]

A me risulta che se a vale uno non esiste il limite ma se 0

Cita

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[Gatto891]

"thedarkhero":A me risulta che se a vale uno non esiste il limite ma se 0
Il limite oscilla tra più e meno infinito a seconda del segno del coseno, quindi se a<1 il limite non esiste.

[itpareid]

secondo me ha ragione thedarkhero...

[delca85]

Anche secondo me ha ragione thedarkhero perchè il prodotto tra una funzione limitata ed una infinitesima è $0$.

[thedarkhero]

Mettiamoci d'accordo

[sylowww]

La soluzione corretta è la seguente:
1. se 0 2. se a =1 il limite non esiste (si ottiene la funzione coseno che come è noto non ammette limite all'infinito).
3. se a>1 il limite vale 0 (prodotto del coseno, limitato, per 1/a^x che è infinitesimo).

[thedarkhero]

Hai ragione...il teorema parla del prodotto...non del rapporto. Grazie

[itpareid]

giusto, avete ragione! scusate...