Limiti (48015)

[Dodo89]

Determinare x appartenente a R tale che esista finito e diverso da 0 il limite:

lim

[math]n^x[/math]

(

[math]\frac{1}{n^2}[/math]

- sen

[math]\frac{1}{n^2}[/math]

)
n->oo

non capisco perchè il valore da dare alla x è 6......
si risolve con Taylor chiamando

[math]\frac{1}{n^2}[/math]

->t
e ricordando che sen t = t-

[math]\frac{1}{3!}[/math]

+ o(

[math]t^4[/math]

)

[ciampax]

Allora, usando la sostituzione da te suggerita ottieni il limite scritto nella forma

[math]\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{t^x}}(t-\sin t)[/math]

e dallo sviluppo di MacLaurin del seno

[math]sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)[/math]

segue

[math]\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{t^x}}\left(t-t+\frac{t^3}{6}+o(t^3)\right)=\lim_{t\to 0^+} t^{-x/2}\cdot\frac{t^3}{6}=\lim_{t\to 0^+}\frac{t^{3-x/2}}{6}[/math]

Ora, ricordando il limite notevole

[math]\lim_{t\to 0} t^\alpha=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \alpha>0\\ 1 & & \alpha=0\\ +\infty & & \alpha