Limiti

[_andrea_13]

Salve ragazzi! Vi devo porre l'ennesima domanda!spero di potermi sdebitare un giorno!

ho bisogno di un consiglio per dei limiti



lim per x che tende a pigreco/2 $(1 + COS^2(x))^(tan^2(x))$


lim per x--> 2 $ ((x-2)^(4/3))/((x^2 -4)^(1/3) *log((x-1)^4)) $

Il primo svolgendolo mi viene= $ e^((tan^2(x))* log(1+cos^2x)) $ quindi e^0 = 1..è giusto il ragionamento?
il secondo so che viene una forma indeterminata 0/0 ma non so come muovermi

[gugo82]

"_andrea_":Salve ragazzi! Vi devo porre l'ennesima domanda!spero di potermi sdebitare un giorno!

ho bisogno di un consiglio per dei limiti



lim per x che tende a pigreco/2 $(1 + COS^2(x))^(tan^2(x))$


lim per x--> 2 $ ((x-2)^(4/3))/((x^2 -4)^(1/3) *log((x-1)^4)) $

Il primo svolgendolo mi viene= $ e^((tan^2(x))* log(1+cos^2x)) $ quindi e^0 = 1..è giusto il ragionamento?
il secondo so che viene una forma indeterminata 0/0 ma non so come muovermi

Scomponendo la differenza di quadrati che è presente al denominatore trovi:

$((x-2)^(4/3))/((x^2 -4)^(1/3) *log((x-1)^4))=((x-2)^(4/3))/((x+2)^(1/3)*(x-2)^(1/3) *log((x-1)^4))=(x-2)/((x+2)^(1/3) *log((x-1)^4))$

con la sostituzione $y=x-2$ (ossia $x=y+2$) il tuo limite si trasforma in:

$lim_(x to 2)((x-2)^(4/3))/((x^2 -4)^(1/3) *log((x-1)^4))=lim_(y to 0)y/((y+4)^(1/3) *log((y+1)^4))$

ed il resto lo lascio a te: si prosegue applicando una proprietà del logaritmo, un limite notevole ed il teorema sul limite di un prodotto di funzioni convergenti.

[_andrea_13]

ok grazie mille...il primo va bene come l'ho risolto?

[gugo82]

La forma indeterminata dell'esponente si elimina con semplici passaggi così (ricorda il limite fondamentale $lim_(yto 0)(log(1+y))/y=1$):

$lim_(xto pi/2) tan^2 x*log(1+cos^2 x)=lim_(xto pi/2) tan^2 x*cos^2 x*(log(1+cos^2 x))/(cos^2 x)=lim_(xto pi/2) sin^2(x)*(log(1+cos^2x))/(cos^2 x)=1$

quindi il tuo limite viene $e^1=e$.

Fai attenzione quando elimini le forme indeterminate.
Buono studio.

[_andrea_13]

Grazie mille x la disponibilità gugo82!