Limiti
dovrei risolvere questi limiti....
$lim_(x->0)((5-xe ^ (1/x))/x)$
$lim_(x->0)(logcos5x)/x^2$
$lim_(x->Pi/2)(Pi-x)tgx$
Grazie
$lim_(x->0)((5-xe ^ (1/x))/x)$
$lim_(x->0)(logcos5x)/x^2$
$lim_(x->Pi/2)(Pi-x)tgx$
Grazie
Risposte
Il terzo limite non esiste, ma esistono
quello destro e quello sinistro che valgono
rispettivamente $-oo$ e $+oo$.
Per il secondo, per $x->0$ si ha:
$log(cos(5x))=log(cos(5x)-1+1)=cos(5x)-1 + o(cos(5x)-1) = - 25/2 x^2 + o(x^2) = -25/2 x^2 (1+o(1))
quindi $lim_(x->0) (log(cos(5x)))/x^2 = lim_(x->0) (-25/2 x^2)/(x^2) = -25/2
quello destro e quello sinistro che valgono
rispettivamente $-oo$ e $+oo$.
Per il secondo, per $x->0$ si ha:
$log(cos(5x))=log(cos(5x)-1+1)=cos(5x)-1 + o(cos(5x)-1) = - 25/2 x^2 + o(x^2) = -25/2 x^2 (1+o(1))
quindi $lim_(x->0) (log(cos(5x)))/x^2 = lim_(x->0) (-25/2 x^2)/(x^2) = -25/2
Si ha:
$lim_(x->0^-) (5/x - e^(1/x)) = -oo
in quanto $e^(1/x)->0$ per $x->0^-$,
dato che $1/x->-oo$ per $x->0^-$.
Resta $5/x$ che tende a $-oo$, quindi
il tutto va a $-oo$.
Per quanto riguarda $lim_(x->0^+) (5/x - e^(1/x))
farei un cambio di variabile: $1/x=y$ e quindi
$lim_(y->+oo) (5y - e^y) = lim_(y->+oo) e^y((5y)/(e^y) - 1)
adesso osserviamo che $y/e^y ->0$ per $y->+oo$
(si può mostrare con De L'Hopital), quindi
il tutto tende a $-oo$; allora il limite
destro e quello sinistro sono uguali; ne segue
che il limite per $x->0$ esiste e vale $-oo$.
$lim_(x->0^-) (5/x - e^(1/x)) = -oo
in quanto $e^(1/x)->0$ per $x->0^-$,
dato che $1/x->-oo$ per $x->0^-$.
Resta $5/x$ che tende a $-oo$, quindi
il tutto va a $-oo$.
Per quanto riguarda $lim_(x->0^+) (5/x - e^(1/x))
farei un cambio di variabile: $1/x=y$ e quindi
$lim_(y->+oo) (5y - e^y) = lim_(y->+oo) e^y((5y)/(e^y) - 1)
adesso osserviamo che $y/e^y ->0$ per $y->+oo$
(si può mostrare con De L'Hopital), quindi
il tutto tende a $-oo$; allora il limite
destro e quello sinistro sono uguali; ne segue
che il limite per $x->0$ esiste e vale $-oo$.
grazie, però sinceramente non riesco ad interpretare il risultato di quello col $logcos5x$ poichè non ho fatto mai quel tipo di sviluppo...
Allora fallo con De L'Hopital... Si tratta di calcolare le derivate prima e seconda...
"fireball":
Allora fallo con De L'Hopital... Si tratta di calcolare le derivate prima e seconda...
Te lo svolgo attraverso i limiti notevoli
$lim_(x->0)(logcos5x)/x^2=lim_(x->0)log(sqrt(1-sin^2(5x)))/x^2=1/2*lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/x^2$=
$1/2* lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/(-sin^2(5x))*(-sin^2(5x))/(25x^2)*25$=
$-25/2* lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/(-sin^2(5x))* lim_(x->0)((sin(5x))/(5x))^2=-25/2*1*1=-25/2$ avendo sfruttato i limiti notevoli $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ e $lim_(x->0)log(1+x)/x=1$
Sì, in effetti in un intorno di 0
vale la formula $cosx=sqrt(1-sin^2x)$...
vale la formula $cosx=sqrt(1-sin^2x)$...
vi ringrazio, gentilissimi
$lim_(x->+oo)(sqrt(x+1)-sqrt(4x))/(sqrt(4x+1)-sqrt(x+1))$
scusatemi se mi approfitto, ma a breve avrò un esonero e devo ricordarmi in fretta le tecniche risolutive + comuni...nn me ne ricordo una!
scusatemi se mi approfitto, ma a breve avrò un esonero e devo ricordarmi in fretta le tecniche risolutive + comuni...nn me ne ricordo una!
Si dovrebbe fare la solita razionalizzazione,
ma utilizzerò gli sviluppi di Taylor.
Per $x->+oo$:
$sqrt(x+1)=sqrt(x)sqrt(1+1/x)=sqrt(x)(1+1/(2x)+o(1/x))=sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)
quindi il numeratore per $x->+oo$ è uguale a:
$sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) - 2sqrtx = -sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) = -sqrtx + o(1)
Il denominatore invece è:
$sqrt(4x+1)-sqrt(x+1)=sqrt(4x(1+1/(4x)))-sqrtx*sqrt(1+1/x)=2sqrtx*sqrt(1+1/(4x))-sqrtx*sqrt(1+1/x)
e dato che $sqrt(1+1/x) = 1 + 1/(2x) + o(1/x)$ (e ovviamente
$sqrt(1+1/(4x))=1+1/(8x)+o(1/x)$) abbiamo:
$2sqrtx+1/(4sqrtx)+o(1/sqrtx)-sqrtx-1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)=sqrtx+o(1)
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->+oo) (-sqrtx)/(sqrtx) = -1
ma utilizzerò gli sviluppi di Taylor.
Per $x->+oo$:
$sqrt(x+1)=sqrt(x)sqrt(1+1/x)=sqrt(x)(1+1/(2x)+o(1/x))=sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)
quindi il numeratore per $x->+oo$ è uguale a:
$sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) - 2sqrtx = -sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) = -sqrtx + o(1)
Il denominatore invece è:
$sqrt(4x+1)-sqrt(x+1)=sqrt(4x(1+1/(4x)))-sqrtx*sqrt(1+1/x)=2sqrtx*sqrt(1+1/(4x))-sqrtx*sqrt(1+1/x)
e dato che $sqrt(1+1/x) = 1 + 1/(2x) + o(1/x)$ (e ovviamente
$sqrt(1+1/(4x))=1+1/(8x)+o(1/x)$) abbiamo:
$2sqrtx+1/(4sqrtx)+o(1/sqrtx)-sqrtx-1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)=sqrtx+o(1)
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->+oo) (-sqrtx)/(sqrtx) = -1
mi devi scusare ma io gli sviluppi in serie nn li ho ancora trattati...la cosa così mi è del tutto incomprensibile...
il fatto è che a occhio riesco a vederlo che il limite è -1, anche solo guardando le incognite di grado maggiore sotto radice, ma mi sfugge il procedimento di razionalizzazione, essendo il numeratore e il denominatore diversi tra loro anche negli argomenti delle radici...
il fatto è che a occhio riesco a vederlo che il limite è -1, anche solo guardando le incognite di grado maggiore sotto radice, ma mi sfugge il procedimento di razionalizzazione, essendo il numeratore e il denominatore diversi tra loro anche negli argomenti delle radici...
Devi trattare numeratore e denominatore separatamente,
prima razionalizzare l'uno e poi l'altro.
Scusa ma proprio non so come faccia tu a occhio a
vedere che il limite è -1... Non mi sembra una
cosa così ovvia... Comunque buon per te se ci riesci... ^^
prima razionalizzare l'uno e poi l'altro.
Scusa ma proprio non so come faccia tu a occhio a
vedere che il limite è -1... Non mi sembra una
cosa così ovvia... Comunque buon per te se ci riesci... ^^
Il numeratore è pari a:
$(-3x+1)/(sqrt(x+1)+sqrt(4x))
Il denominatore è uguale a:
$(3x)/(sqrt(4x+1)+sqrt(x+1))
Fai la divisione tra i due e calcolane il limite per $x->+oo$...
$(-3x+1)/(sqrt(x+1)+sqrt(4x))
Il denominatore è uguale a:
$(3x)/(sqrt(4x+1)+sqrt(x+1))
Fai la divisione tra i due e calcolane il limite per $x->+oo$...
"fireball":
Devi trattare numeratore e denominatore separatamente,
prima razionalizzare l'uno e poi l'altro.
Scusa ma proprio non so come faccia tu a occhio a
vedere che il limite è -1... Non mi sembra una
cosa così ovvia... Comunque buon per te se ci riesci... ^^
forse il ragionamento è sbagliato ma visto che tutti i termini sono sotto radice hanno lo stesso grado, quindi se ipoteticamente togliessi le radici lasciando perdere i termini noti avrei $(-3x)/(3x) = -1$
Non è rigoroso come ragionamento...
Va beh, l'importante è che da quel punto
in poi tu non abbia più problemi a calcolare
il limite (una volta che razionalizzi numeratore e
denominatore diventa molto semplice).
Va beh, l'importante è che da quel punto
in poi tu non abbia più problemi a calcolare
il limite (una volta che razionalizzi numeratore e
denominatore diventa molto semplice).
ok, cmq grazie mille. sempre gentilissimo. 
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