Limiti
Ciao, ho bisogno di aiuto con questo limite da fare con gli sviluppi di McLaurin
$lim_(x->0)(log(1+sinx)-x+(x^2/2))/((tanx)^3+x^5)$
Io ho sviluppato prima sinx al num
$log(1+x-(x^3)/6+o(x^3))-x+(x^2/2)$
sviluppando log(1+x) si ha $x-(x^3)/6+o(x^3)-1/2(x-(x^3)/6+o(x^3))^2+o(x^2)-x+(x^2/2)$
$x-(x^3)/6+o(x^3)-1/2(x^2+1/36x^6+o(x^6)-1/3x^4+o(x^4))+o(x^2)-x+x^2/2$
è giusto procedere in questo modo?
Non riesco a capire cosa trascurare.
Grazie
$lim_(x->0)(log(1+sinx)-x+(x^2/2))/((tanx)^3+x^5)$
Io ho sviluppato prima sinx al num
$log(1+x-(x^3)/6+o(x^3))-x+(x^2/2)$
sviluppando log(1+x) si ha $x-(x^3)/6+o(x^3)-1/2(x-(x^3)/6+o(x^3))^2+o(x^2)-x+(x^2/2)$
$x-(x^3)/6+o(x^3)-1/2(x^2+1/36x^6+o(x^6)-1/3x^4+o(x^4))+o(x^2)-x+x^2/2$
è giusto procedere in questo modo?
Non riesco a capire cosa trascurare.

Grazie
Risposte
Cosa ti conviene fare secondo me in questi limiti è osservare un attimino i gradi che compaiono e intuire quale sia l'ordine giusto a cui fermarsi con gli sviluppi.
In questo caso direi che l'ordine giusto è 3, quindi imporremo che i polinomi al num ed al denominatore siano $o(x^3)$. Così potremo togliere tuto ciò che comparirebbe con un grado superiore al tre.
${(log(1+sinx)=sinx-{sin^x}/2+{sin^3x}/3+o(x^3)),(sinx=x-x^3/6+o(x^3)):}=x-x^3/6-x^2/2+x^3/3+o(x^3)=x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
Sviluppando invece la tangente al denominatore:
$(tanx)^3=(x+x^3/3)^3+o(x^3)=x^3+o(x^3)$
Sostituendo nella funzione si ha:
$f(x)={x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)-x+x^2/2}/{x^3+o(x^3)+x^5}={x^3/6+o(x^3)}/{x^3+o(x^3)}=>lim_{x\to0}f(x)=1/6$
In questo caso direi che l'ordine giusto è 3, quindi imporremo che i polinomi al num ed al denominatore siano $o(x^3)$. Così potremo togliere tuto ciò che comparirebbe con un grado superiore al tre.
${(log(1+sinx)=sinx-{sin^x}/2+{sin^3x}/3+o(x^3)),(sinx=x-x^3/6+o(x^3)):}=x-x^3/6-x^2/2+x^3/3+o(x^3)=x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
Sviluppando invece la tangente al denominatore:
$(tanx)^3=(x+x^3/3)^3+o(x^3)=x^3+o(x^3)$
Sostituendo nella funzione si ha:
$f(x)={x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)-x+x^2/2}/{x^3+o(x^3)+x^5}={x^3/6+o(x^3)}/{x^3+o(x^3)}=>lim_{x\to0}f(x)=1/6$
Grazie!
Ma lo sviluppo del log è giusto?
Cioè $log(1+senx) = x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$ Tu hai tenuto "1+..." Perchè?
Ma lo sviluppo del log è giusto?
Cioè $log(1+senx) = x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$ Tu hai tenuto "1+..." Perchè?
perchè ho sbagliato a scrivere..

OK!
Grazie ancora

E questo qua?
$lim_(x->0)(e^((sinx)^3)-1-(tanx)^3)/(x^3(e^((x)^2)-e^((senx)^2))$
Devo tenere sempre grado tre? Al denominatore però c'è un $x^3 che alza tutto

$lim_(x->0)(e^((sinx)^3)-1-(tanx)^3)/(x^3(e^((x)^2)-e^((senx)^2))$
Devo tenere sempre grado tre? Al denominatore però c'è un $x^3 che alza tutto
