Limiti 2 variabili
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sin(xy))^2/(2x^2+3y^2) $
io l'ho svolto così
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sin(xy))^2/(2x^2+3y^2)=(sin^2(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)^2*sin(xy)^2)/(2x^2+3y^2)*(xy)^4/(xy)^4=(xy)^4/(2x^2+3y^2) $
a questo punto sono passato in coordinate polari
$ lim_((rho) -> (0)) (rho^4cos^4theta*rho^4sin^4theta)/(2rho^2cos^2theta+3rho^2sin^2theta)=(rho^8cos^4thetasin^4theta)/(rho^2(2cos^2theta+3sin^2theta))=(rho^6cos^4thetasin^4theta)/(2cos^2theta+3sin^2theta)=0 $
vi torna ?
io l'ho svolto così
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sin(xy))^2/(2x^2+3y^2)=(sin^2(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)^2*sin(xy)^2)/(2x^2+3y^2)*(xy)^4/(xy)^4=(xy)^4/(2x^2+3y^2) $
a questo punto sono passato in coordinate polari
$ lim_((rho) -> (0)) (rho^4cos^4theta*rho^4sin^4theta)/(2rho^2cos^2theta+3rho^2sin^2theta)=(rho^8cos^4thetasin^4theta)/(rho^2(2cos^2theta+3sin^2theta))=(rho^6cos^4thetasin^4theta)/(2cos^2theta+3sin^2theta)=0 $
vi torna ?
Risposte
hai provato con le restrizioni lungo il fascio y = mx prima di passare in coordinate polari?
a proposito, noto un errore quando hai elevato il seno al quadrato
a proposito, noto un errore quando hai elevato il seno al quadrato
l'errore è mica aver elevato al quadrato anche l'argomento ?
sì è proprio quello
la parentesi esterna era quadra ovviamente...ma il succo cambia poco...però mi ha confuso...dovrebbe venire così...giusto...?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [sin(xy)]^2/(2x^2+3y^2)=(sin^2(xy))/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)*sin(xy))/(2x^2+3y^2)*(xy)^2/(xy)^2=(xy)^2/(2x^2+3y^2) $
ora tu dici di provare a fare la restrizione y=mx invece che in coordinate polari...in coordinate polari anche così ottengo il solito risultato cmq...
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [sin(xy)]^2/(2x^2+3y^2)=(sin^2(xy))/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)*sin(xy))/(2x^2+3y^2)*(xy)^2/(xy)^2=(xy)^2/(2x^2+3y^2) $
ora tu dici di provare a fare la restrizione y=mx invece che in coordinate polari...in coordinate polari anche così ottengo il solito risultato cmq...
ma la mia era solo una proposta per risparmiare tempo e fatica, poi vedi tu
si si...ma io accetto volentieri i consigli...ora non ricordo se tu o un altro mi aveva suggerito prima di usare le restrizioni di passare in coordinate polari...e se non riuscivo ad ottenere nulla allora passare alle restrizioni per vedere se il limite non esiste...
io passando in coordinate polari trovo che per rho--->0 il limite esiste e vale 0...
a te quanto viene questo limite ?
io passando in coordinate polari trovo che per rho--->0 il limite esiste e vale 0...
a te quanto viene questo limite ?
chi ti ha suggerito quella cosa non ha sicuramente capito come funzionano le coordinate polari, perchè con quelle vedi immediatamente se il limite dipende dall'angolo θ, e in tal caso non può esistere. in particolare, le coordinate polari ti permettono di vedere come si comporta la funzione in tutti i punti della palla centrata in (x0,y0), a questo proposito ti rimando a un libro di testo. la scocciatura è che lavorare con altre coordinate, salvo casi particolari, è più scomodo. per questo risulta più semplice:
1) vedere come si comporta il limite lungo le restrizioni
2) passare in coordinate polari (se lungo le restrizioni ottengo sempre lo stesso risultato)
3) procedere alla verifica del limite (se usi le coordinate polari per calcolare il limite, questa ti viene gratis)
talvolta il 2) si può omettere, se sei fortunato che la funzione non è proprio brutta e hai una buona osservazione
il limite mi pare corretto.
tanto per evitare di usare le c polari, per verificare comunque che il limite faceva 0 potevi dapprima notare che al numeratore hai un infinitesimo di ordine 4 e al denominatore di ordine 2, quindi tentare di usare delle disuguaglianze: ad esempio, $2x^2 + 3y^2 < 2x^2 => | (xy)^2 /( 2x^2 + 3y^2) | < | (xy)^2 / (2x^2) | = y^2/2$ che tende a 0 per $y to 0$
1) vedere come si comporta il limite lungo le restrizioni
2) passare in coordinate polari (se lungo le restrizioni ottengo sempre lo stesso risultato)
3) procedere alla verifica del limite (se usi le coordinate polari per calcolare il limite, questa ti viene gratis)
talvolta il 2) si può omettere, se sei fortunato che la funzione non è proprio brutta e hai una buona osservazione
il limite mi pare corretto.
tanto per evitare di usare le c polari, per verificare comunque che il limite faceva 0 potevi dapprima notare che al numeratore hai un infinitesimo di ordine 4 e al denominatore di ordine 2, quindi tentare di usare delle disuguaglianze: ad esempio, $2x^2 + 3y^2 < 2x^2 => | (xy)^2 /( 2x^2 + 3y^2) | < | (xy)^2 / (2x^2) | = y^2/2$ che tende a 0 per $y to 0$
ti ringrazio...molto chiaro
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