Limiti

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Buonasera, ho questi due limiti da risolvere, mi potete aiutare?

$\lim_{x \to \-infty} (sqrt(x^2+4x) +x)$

e

$\lim_{x \to \+infty} arcsin (2x/(x^2+3))/ (2^(1/x) - sqrt(1+1/x))$

il primo limite ho razionalizzato e quindi

$\lim_{x \to \-infty} ((sqrt(x^2+4x) +x) /(sqrt(x^2+4x) -x) sqrt(x^2+4x) -x ))$ = $\lim_{x \to \-infty} ((4x)/(sqrt(x^2+4x)-x))$ = $\lim_{x \to \-infty} ((4x)/(sqrt(x^2) sqrt(1+4/x) -x) ) $

ma questo limite mi viene 4, invece dovrebbe venire -2, dove sbaglio?

per quanto riguarda il secondo ho provato a risolverlo utilizzando i limiti notevoli, cioè
$(arcsin x)/(x)$ e $(a^x-1)/(x)$
ma mi viene 0, invece deve tendere A $(4/(log(4)-1))$

help

[Anacleto13]

$ \lim_{x \to \-infty} ((4x)/(sqrt(x^2+4x)-x)) =\lim_{x \to \-infty} ((4x)/(-x\sqrt(1+4/x)-x))=-2$
Ricorda che $\sqrt(x^2)=|x|$

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perfetto grazie.
per quanto riguarda il secondo come conviene procedere?

[Obidream]

"Smon97":perfetto grazie.
per quanto riguarda il secondo come conviene procedere?

Al numeratore:

$arcsin((2x)/(x^2+3)) = 2/x+o(1/x)$ per $x->+oo$

Al denominatore:

$2^(1/x)-sqrt(1+1/x) = e^(log(2)/x)-sqrt(1+1/x) = log(2)/x-1/(2x) +o(1/x)$

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devo risolverli senza taylor. solo con i limiti notevoli..

[pilloeffe]

Ciao Smon97.

Per il secondo limite proposto procederei nel modo seguente:

$ \lim_{x \to \+infty} arcsin(2x/(x^2+3))/(2^(1/x) - sqrt(1+1/x)) = \lim_{x \to \+infty} arcsin((2x)/(x^2+3))/((2x)/(x^2+3)) \cdot ((2x)/(x^2+3))/(2^(1/x) - sqrt(1+1/x)) = $
$ = \lim_{x \to \+infty} arcsin((2x)/(x^2+3))/((2x)/(x^2+3)) \cdot ((2x^2)/(x^2+3))/(\frac{2^(1/x) - sqrt(1+1/x)}{1/x}) = \lim_{x \to \+infty} arcsin((2x)/(x^2+3))/((2x)/(x^2+3)) \cdot ((2x^2)/(x^2+3))/(\frac{2^(1/x) - 1 - (sqrt(1+1/x) - 1)}{1/x}) = $
$ = \lim_{x \to \+infty} arcsin((2x)/(x^2+3))/((2x)/(x^2+3)) \cdot ((2x^2)/(x^2+3))/(\frac{2^(1/x) - 1}{1/x} - \frac{sqrt(1+1/x) - 1}{1/x}) = 1 \cdot \frac{2}{ln(2) - 1/2} = \frac{4}{2ln(2) - 1} = \frac{4}{ln(4) - 1} $

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Perfetto grazie. Avevo provato a farlo così, l ultimo passaggio del limite mi veniva diverso, ma ho capito dove sbagliavo.