Limiti
Buongiorno a tutti, ho problemi con i seguenti limiti
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{ \frac{n sin(n)+sin(n^2)}{n^2+1}} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2+x-1}-x+1/2 \)
Per il primo avevo pensato di utlizzare gli sviluppi in serie di Taylor (eventualmente a che ordine devo fermarmi?), per il secondo invece non capisco che metodo possa essere utilizzato. Consigli?
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{ \frac{n sin(n)+sin(n^2)}{n^2+1}} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2+x-1}-x+1/2 \)
Per il primo avevo pensato di utlizzare gli sviluppi in serie di Taylor (eventualmente a che ordine devo fermarmi?), per il secondo invece non capisco che metodo possa essere utilizzato. Consigli?
Risposte
PRIMO
Noto che $-1<=sin y<=1$
Quindi il numeratore è asintotico a... e il denominatore a...
..quindi...
SECONDO
x va a più o meno infinito?
Noto che $-1<=sin y<=1$
Quindi il numeratore è asintotico a... e il denominatore a...
..quindi...
SECONDO
x va a più o meno infinito?
"kobeilprofeta":
PRIMO
SECONDO
x va a più o meno infinito?
$+\infty$
Il primo fa 0? La situazione teoricamente dovrebbe essere questa
$\lim_{x\to \infty}{\frac{n*A+A}{1+n^2}}$, dove $A$ è un numero compreso tra -1 e 1. Di conseguenza per il grado maggiore del denominatore il limite tende a 0. Corretto?
$\lim_{x\to \infty}{\frac{n*A+A}{1+n^2}}$, dove $A$ è un numero compreso tra -1 e 1. Di conseguenza per il grado maggiore del denominatore il limite tende a 0. Corretto?
Fai maggiorazioni coi moduli
Sia il numeratore = a+b
allora $a+b <=|a+b|<=|a|+|b|<=|a|+1... $
Sia il numeratore = a+b
allora $a+b <=|a+b|<=|a|+|b|<=|a|+1... $
Per il primo?
Sì. Sfrutti il fatto che il seno sta fra -1 e 1
Come ho scritto io è sbagliato? Ho sfruttato lo stesso principio. Per il secondo invece??
l'idea c'è, ma è sbagliato scrivere come hai scritto tu
SECONDO
$lim sqrt(x^2+x-1)-x+1/2=lim sqrt(x^2(1+1/x-1/x^2))-x+1/2=lim |x|*sqrt(1+1/x-1/x^2)-x+1/2$
Ora vai avanti tu notando che |x|=x e che la radice la vedo come $(1+h(x))^{\alpha}$, dove $h to 0$ e quindi posso sviluppare con taylor.
$lim sqrt(x^2+x-1)-x+1/2=lim sqrt(x^2(1+1/x-1/x^2))-x+1/2=lim |x|*sqrt(1+1/x-1/x^2)-x+1/2$
Ora vai avanti tu notando che |x|=x e che la radice la vedo come $(1+h(x))^{\alpha}$, dove $h to 0$ e quindi posso sviluppare con taylor.
Oppure puoi fare così:
$(lim_(x rarr +oo) sqrt(x^2+x-1)-x)+1/2 = (lim_(x rarr +oo) (x-1)/(sqrt(x^2+x-1)+x))+1/2$ usando la razionalizzazione
$(lim_(x rarr +oo) sqrt(x^2+x-1)-x)+1/2 = (lim_(x rarr +oo) (x-1)/(sqrt(x^2+x-1)+x))+1/2$ usando la razionalizzazione
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