Limite....n.3

[geovito]

Correggetemi se sbaglio (e forse sbaglio):

$lim_(x->0)((2x-log(1+x)-x^2)(1-cos3x))/(log^2(1+x)(2e^x-x^2-2x-2)$ Forma indeterminata $(0/0)$ solo con l'ausilio di Hopital, limiti notevoli, infinitesimi/infiniti.

"Elimino" il fattore $1-cos3x$ al numeratore ed il $log^2(1+x)$ al denominatore coi limiti notevoli, per cui resta:

$9/2lim_(x->0)((2x-log(1+x)-x^2))/(2e^x-x^2-2x-2)$ ancora forma indeterminata $(0/0)$. Applico Hopital e viene

$9/2lim_(x->0)((2-1/(1+x)-2x))/(2e^x-2x-2)$, da cui $9/2lim_(x->0)((1-2x^2))/((2e^x-2x-2)(x+1))$ e poi non credo di aver proceduto bene
Forse non è corretto "eliminare" i 2 fattori $1-cos3x$ al numeratore ed il $log^2(1+x)$ al denominatore?

[ciampax]

Invece hai proceduto bene. Adesso puoi far sparire quel $x+1$ a denominatore per ché per $x\to 0$ il suo limite vale $1$ e, fatto questo, applica altre due volte de l'Hopital.

[geovito]

grazie ma il risultato non si trova.
Deve uscire $6$

[ciampax]

Dici? A me il limite che hai scritto all'inizio viene $\infty$. Anche perché a numeratore hai un infinitesimo di ordine 3, mentre a denominatore uno di ordine 5. Ricontrolla un po' la traccia.

[geovito]

rettifico il risultato è $-6$

[ciampax]

Vitus, non so come ripetertelo: a numeratore hai un infinitesimo di ordine 3 (quindi del tipo $ax^3$) mentre a denominatore di ordine $5$ ($bx^5$). Ne segue che il limite di quella funzione è uguale a quello di ${ax^3}/{bx^5}=a/{bx^2}$ che per $x\to 0$ va a $+\infty$

[geovito]

Io ho provato a risolvere così
indicato prima
$lim_(x->0)(9(1-2x^2))/(2[(1+x)(2e^x-2x-2))]$ applico Hopital
$lim_(x->0)(9(-4x))/(2[(2e^x-2x-2)+(1+x)(2e^x-2])$ per $xrarr0$ viene
$lim_(x->0)(-9x)/([(2e^x-2x-2+xe^x])$ riapplico Hopital
$lim_(x->0)(-9)/((2e^x-2+e^x+xe^x]$ e da cui, meno di errori, viene $-9$ al posto di $-6$

[geovito]

e' corretto il procedimento seguito?
Grazie