Limite(con Mclaurin)
buongiorno a tutti volevo chiedervi come è possibile risolvere il DENOMINATORE di questa funzione(il numeratore riesco a svilupparlo con McLaurin(in teoria anche il denominatore ma non so come fare!))
$ lim_(x -> 0) (cosh x^2 -e^{-x^2}+ x^2/2 )/ln (1+sinh root(5)(x^2) )^2 $
e cosa vuol dire saper disegnare il grafico nell'intorno del punto considerato?
$ lim_(x -> 0) (cosh x^2 -e^{-x^2}+ x^2/2 )/ln (1+sinh root(5)(x^2) )^2 $
e cosa vuol dire saper disegnare il grafico nell'intorno del punto considerato?
Risposte
"lion21":
(il numeratore riesco a svilupparlo con McLaurin(in teoria anche il denominatore ma non so come fare!))
Ma che significa??
"lion21":
e cosa vuol dire saper disegnare il grafico nell'intorno del punto considerato?
vuol dire, in poche parole, fare un grafico zoomato sul punto considerato, trascurando tutti gli altri elementi [limiti agli infiniti altro]
Ma sei sicuro di voler sviluppare con Mac-Laurin?
Io proverei a sfruttare il fatto che (sia $\epsilon$ un infinitesimo) $sinh \epsilon approx \epsilon$ e che $ln(1+\epsilon) approx \epsilon$, che in definitiva vuol dire $log(1+sinh \epsilon)^2 = 2 log(1+sinh \epsilon) approx 2 log(1+\epsilon) approx 2 \epsilon$
Per quanto riguarda il numeratore, puoi sfruttare il fatto che (se $\epsilon$ e $\sigma$ sono due infinitesimi) $cosh \epsilon = sqrt(sinh^2 \epsilon + 1) approx sqrt(\epsilon ^ 2 + 1) - 1 + 1 approx \epsilon^2 / 2 + 1 $, e a questo punto puoi anche toglierti dalle scatole il tuo esponenziale. Infatti sai che $e^\sigma - 1 approx \sigma => 1 - e^\sigma approx -\sigma $.
Quindi, in definitiva, hai che $cosh \epsilon - e^\sigma approx \epsilon^2 / 2 + 1 - e^\sigma approx \epsilon^2 / 2 - \sigma$
Attenzione, la differenza tra infinitesimi potrebbe romperti assai le scatole. Qui hai fortuna, ma se si fosse trattato dello stesso infinitesimo avresti dovuto ricorrere per forza di cose allo sviluppo in serie di Mac-Laurin, arrestandoti almeno al secondo ordine.
Io proverei a sfruttare il fatto che (sia $\epsilon$ un infinitesimo) $sinh \epsilon approx \epsilon$ e che $ln(1+\epsilon) approx \epsilon$, che in definitiva vuol dire $log(1+sinh \epsilon)^2 = 2 log(1+sinh \epsilon) approx 2 log(1+\epsilon) approx 2 \epsilon$
Per quanto riguarda il numeratore, puoi sfruttare il fatto che (se $\epsilon$ e $\sigma$ sono due infinitesimi) $cosh \epsilon = sqrt(sinh^2 \epsilon + 1) approx sqrt(\epsilon ^ 2 + 1) - 1 + 1 approx \epsilon^2 / 2 + 1 $, e a questo punto puoi anche toglierti dalle scatole il tuo esponenziale. Infatti sai che $e^\sigma - 1 approx \sigma => 1 - e^\sigma approx -\sigma $.
Quindi, in definitiva, hai che $cosh \epsilon - e^\sigma approx \epsilon^2 / 2 + 1 - e^\sigma approx \epsilon^2 / 2 - \sigma$
Attenzione, la differenza tra infinitesimi potrebbe romperti assai le scatole. Qui hai fortuna, ma se si fosse trattato dello stesso infinitesimo avresti dovuto ricorrere per forza di cose allo sviluppo in serie di Mac-Laurin, arrestandoti almeno al secondo ordine.
"mgiaff":
Ma sei sicuro di voler sviluppare con Mac-Laurin?
Io proverei a sfruttare il fatto che...
Quello che hai fatto tu è proprio lo sviluppo di MacLaurin fermato all'ordine 1
"pater46":
[quote="mgiaff"]Ma sei sicuro di voler sviluppare con Mac-Laurin?
Io proverei a sfruttare il fatto che...
Quello che hai fatto tu è proprio lo sviluppo di MacLaurin fermato all'ordine 1
[/quote]Certo, ma in realtà si tratta solo di asintotici notevoli. Non serve scomodare Mac-Laurin e le derivate per dimostrarli
@magiaff: grazie per la tua risposta esauriente ,soprattutto non avevo pensato alle proprietà del logaritmo e quindi a far diventare l'esponente dell'argomento il coefficiente del log stesso.
@Raptorista: per sviluppare il numeratore con mclaurin intendevo fare lo sviluppo delle singole funzioni.
Comunque sia ora ho fatto l'esercizio e mi è venuto così:
$ lim_(x -> 0) (1 + x^4/2 - 1 + x^2 -x^4/2 + x^2/2 + o(x^4 ))/ (2root(5)(x^2) +o(x^(2/5)) ) = lim_(x -> 0) (x^2+x^2/2 + o(x^2))/(2x^(2/5)+o(x^(2/5))) = lim_(x -> 0) (3/2 x^2 + o(x^2))/(2x^(2/5)+o(x^(2/5))) = 3/4 x^(8/5) $
Che graficamente è una specie di parabola centrata nell'origine.
A me sembra corretto aspetto una vostra risposta!
E grazie ancora per le dritte di prima!
@Raptorista: per sviluppare il numeratore con mclaurin intendevo fare lo sviluppo delle singole funzioni.
Comunque sia ora ho fatto l'esercizio e mi è venuto così:
$ lim_(x -> 0) (1 + x^4/2 - 1 + x^2 -x^4/2 + x^2/2 + o(x^4 ))/ (2root(5)(x^2) +o(x^(2/5)) ) = lim_(x -> 0) (x^2+x^2/2 + o(x^2))/(2x^(2/5)+o(x^(2/5))) = lim_(x -> 0) (3/2 x^2 + o(x^2))/(2x^(2/5)+o(x^(2/5))) = 3/4 x^(8/5) $
Che graficamente è una specie di parabola centrata nell'origine.
A me sembra corretto aspetto una vostra risposta!
E grazie ancora per le dritte di prima!
$x^2 - x^2/2 + o(x^2) = 3/2 x^2 + o(x^2)$ ?? 
Il risultato del limite deve essere un valore, non una funzione xD
Il risultato del limite deve essere un valore, non una funzione xD
apparte che ho cannato il segno clamorosamente(ora ho modificato ) come fa a non venire fuori una funzione visto che gli esponenti dell'incognita sono divesi ?
e se non è una funzione come faccio a farne il disegno nell'intorno del punto considerato?
ti prego per favore puoi rispondermi direttamente che dopodomani ho l'esame grazie
e se non è una funzione come faccio a farne il disegno nell'intorno del punto considerato?
ti prego per favore puoi rispondermi direttamente che dopodomani ho l'esame grazie
Perché tu fai un passaggio al limite, quando il valore dell'incognita tende ad un preciso valore finito!
Come dice Raptorista, stai calcolando il limite con la tua incognita tendente ad un valore finito. Quello che hai scritto è errato dal punto di vista concettuale e della definizione di limite. Per la definizione si deve avere che $lim_(x->x_o) f(x) = \alpha$, dove $\alpha$ è un unico valore di $RR$ (e non una funzione).
Giusto grazie, quindi il risultato del limite dovrebbe essere 0+ ma com posso disegnare il grafico nell'intorno del punto considerato allora?
grazie ancora cmq se mi date quest'ultima dritta prima dell'esame di domani vi saro' riconoscenti per la vita
grazie ancora cmq se mi date quest'ultima dritta prima dell'esame di domani vi saro' riconoscenti per la vita
"lion21":
Giusto grazie, quindi il risultato del limite dovrebbe essere 0+ ma com posso disegnare il grafico nell'intorno del punto considerato allora?
grazie ancora cmq se mi date quest'ultima dritta prima dell'esame di domani vi saro' riconoscenti per la vita
Ho già risposto a questa domanda: disegna il grafico solo indicando le caratteristiche significative che sono "vicino" al punto.
si ho capito che devo fare un grafico solo nei pressi del punto x = 0 , ma non ho capito il grafico di che cosa......di 3/4* x^(8/5)
?
?
No, il grafico della funzione di cui hai fatto il passaggio al limite!
Raptorista, forse lui vuole sapere come farlo.
Puoi guardare la crescenza / decrescenza (ti bastano anche solo il limite destro e sinistro, senza ricorrere per forza di cose alle derivate).
Puoi guardare la crescenza / decrescenza (ti bastano anche solo il limite destro e sinistro, senza ricorrere per forza di cose alle derivate).
"mgiaff":
Raptorista, forse lui vuole sapere come farlo.
L'erba "Voglio" non cresce nemmeno a casa mia
Se vuole arrivare alla soluzione, deve metterci un po' di impegno, e visto che la questione mi sembra alquanto facile, è sbagliato che noi gli diamo la pappa pronta!
Beh dai gli ho dato solo un input 
"mgiaff":
Beh dai gli ho dato solo un input
Infatti non ce l'ho con te
Stavo solo dicendo che gli do solo piccoli indizi per quel motivo.
"Raptorista":
Stavo solo dicendo che gli do solo piccoli indizi per quel motivo.
Concordo
vuoi dire che devo fare il grafico nell'intorno dello 0 dello di questa funzione?!?!?
$ (cosh x^2 -e^{-x^2}+ x^2/2 )/ln (1+sinh root(5)(x^2) )^2 $
e come si fa?! per me è impossibile.
ma non sarebbe la stessa cosa fare il grafico di $ 3/4* x^(8/5) $ ?
domani ho l'esame please
$ (cosh x^2 -e^{-x^2}+ x^2/2 )/ln (1+sinh root(5)(x^2) )^2 $
e come si fa?! per me è impossibile.
ma non sarebbe la stessa cosa fare il grafico di $ 3/4* x^(8/5) $ ?
domani ho l'esame please
Sai cos'è un intorno di un punto, innanzitutto?
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