Limite utilizzando equivalenza asintotica

[Lodosage]

Come si risolve questo limite utilizzando l'equivalenza asintotica?

$lim_(x -> 0) (senx-x+2x^5)/(3x^3)$

[cooper1]

applicando Taylor al seno e notando che per $x->0$ $x^5=o(x^3)$

[Lodosage]

in altro modo non è possibile?

[cooper1]

con de l'Hopital magari.
il limite diventa: $(cosx-1+10x^4)/(9x^3)=1/9*(cosx-1)/x^2+10/9 x^2= -1/18$
dove ho applicato la stima asintotica del coseno $(cosx-1)/x^2~-1/2$ per x infinitesimo

[pilloeffe]

Ciao Leoddio,

Sì, è possibile:

$ lim_{x \to 0}(sin x-x+2x^5)/(3x^3) = frac{1}{3} lim_{x \to 0}(sin x-x)/(x^3) + lim_{x \to 0}frac{2}{3}x^2 $

Il secondo limite è nullo, il primo vale $frac{1}{3} \cdot (-frac{1}{6}) = - frac{1}{18}$ che è anche il risultato del limite proposto (perché il primo limite risulta $-frac{1}{6} $ lo si può vedere ad esempio da qui).

[Lodosage]

ok grazie mille e già che ci sono vi voglio chiedere perhé questo limite non è calcolabile normalmente raccogliendo una x a numeratore in questo modo:

$lim_(x -> 0) (x((senx)/x-1+2x^4))/(3x^3) = lim_(x -> 0) (2x^4)/(3x^2)$

[pilloeffe]

Perché non puoi passare al limite in due "rate" a seconda di ciò che ti conviene: quando si passa al limite si passa al limite per tutto (occhio che manca un $3$ al denominatore del limite iniziale, altrimenti non si capisce da dove spunti nel primo passaggio...)

[Lodosage]

Grazie mille, ho corretto subito.

Comunque non riesco a riconoscere bene quali siano queste due rate, se ad esempio facessi lo sviluppo di taylor al terzo grado di senx uscirebbe fuori $ lim_(x -> 0) (x-(x^3)/6+o(x^3)-x+2x^5)/(3x^3) $ e sarebbe un turno, e poi dovrei comunque fare un altro passaggio per arrivare a -1/18

[pilloeffe]

Le "rate" si riferivano alla tua proposta di soluzione seguente, che è errata:

"Leoddio":perché questo limite non è calcolabile normalmente raccogliendo una $x$ a numeratore in questo modo:

$lim_{x \to 0}\frac{x(sin x/x −1 + 2x^4)}{3x^3} = lim_{x \to 0} frac{2x^4}{3x^2}$

Nell'ultimo post che hai scritto non c'è alcuna "rata" (che comunque non deve mai esserci...) e nessun altro passaggio, ma devi solo scrivere correttamente lo sviluppo di $sin x$:

$sin x = x - frac{x^3}{3!} + o(x^3) = x - (x^3)/6 + o(x^3) $

[Lodosage]

si ma non ho capito a che genere di passaggi ti riferisci quando dici "rate"