Limite uniforme di funzioni analitiche è analitico. Proof?
E' ben noto (che significa: non vorrei trovare delle referenze esplicite, fa parte di un qualunque corso di Analisi Complessa) che se $(f_n)_n$ è una successione di funzioni olomorfe in $\Omega \sub CC$, e questa converge uniformemente sui compatti ad una funzione $f$, allora $f$ è olomorfa.
Vorrei capire se vale il seguente Teorema, che dovrebbe valere, ma del quale non trovo referenze chiare. Posso sostituire nella frase precedente la parola "olomorfo" con "analitico"? Ossia
Data $(f_n)_n$ una successione di funzioni analitiche in $\Omega \sub RR^n$, se questa converge uniformemente sui compatti ad una funzione $f$, allora $f$ è analitica.
Vorrei capire se vale il seguente Teorema, che dovrebbe valere, ma del quale non trovo referenze chiare. Posso sostituire nella frase precedente la parola "olomorfo" con "analitico"? Ossia
Data $(f_n)_n$ una successione di funzioni analitiche in $\Omega \sub RR^n$, se questa converge uniformemente sui compatti ad una funzione $f$, allora $f$ è analitica.
Risposte
Analitica e olomorfa sono -a posteriori- sinonimi... Quindi io direi di sì.
Invece no.
Già per \(N=1\) la cosa è falsa.
Infatti la successione di funzioni analitiche:
\[
f_n(x):= \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}
\]
converge uniformemente sui compatti alla funzione:
\[
f(x):=|x|
\]
che non è nemmeno \(C^1\).
Per ottenere un controesempio con \(N>1\), basta considerare le funzioni precedenti con \(|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}\) al posto di \(x\).
Il risultato non si trasporta dalle funzioni olomorfe alle funzioni analitiche perchè non è l'analiticità delle funzioni olomorfe la proprietà che fa funzionare quella dimostrazione.
Al contrario, la proprietà che permette a quella dimostrazione di funzionare è il fatto che le funzioni parte reale e parte immaginaria di una stessa funzione olomorfa sono funzioni armoniche nel dominio: infatti si dimostra che, in generale, il limite uniforme di funzioni armoniche in uno stesso dominio di \(\mathbb{R}^N\) una funzione armonica e, dunque, pure analitica in quel dominio.
Già per \(N=1\) la cosa è falsa.
Infatti la successione di funzioni analitiche:
\[
f_n(x):= \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}
\]
converge uniformemente sui compatti alla funzione:
\[
f(x):=|x|
\]
che non è nemmeno \(C^1\).
Per ottenere un controesempio con \(N>1\), basta considerare le funzioni precedenti con \(|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}\) al posto di \(x\).
Il risultato non si trasporta dalle funzioni olomorfe alle funzioni analitiche perchè non è l'analiticità delle funzioni olomorfe la proprietà che fa funzionare quella dimostrazione.
Al contrario, la proprietà che permette a quella dimostrazione di funzionare è il fatto che le funzioni parte reale e parte immaginaria di una stessa funzione olomorfa sono funzioni armoniche nel dominio: infatti si dimostra che, in generale, il limite uniforme di funzioni armoniche in uno stesso dominio di \(\mathbb{R}^N\) una funzione armonica e, dunque, pure analitica in quel dominio.
Bene.
E la dimostrazione di quanto dici si fa semplicemente usando la proprietà di media (integro su un compatto, posso scambiare integrali e limiti).
Ma allora: io sapevo che le funzioni analitiche, con le seminorme dei $"sup"$ sui compatti, sono uno spazio di Frechet.
Sbagliavo quindi! E allora qual è la topologia "naturale"?
E la dimostrazione di quanto dici si fa semplicemente usando la proprietà di media (integro su un compatto, posso scambiare integrali e limiti).
Ma allora: io sapevo che le funzioni analitiche, con le seminorme dei $"sup"$ sui compatti, sono uno spazio di Frechet.
Sbagliavo quindi! E allora qual è la topologia "naturale"?
Le funzioni analitiche complesse sono uno spazio di Frechet, probabilmente... Ma non quelle reali.
C'è una bella differenza, perchè le prime sono -fondamentalmente- coppie di funzioni armoniche!
[Anche se poi, proprio coppie non sono, perchè hai un solo grado di libertà per sceglierle: infatti sai che la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa sono una l'armonica coniugata dell'altra... Perciò fissata la parte reale, ad esempio, il coefficiente dell'immaginario è univocamente determinato.]
C'è una bella differenza, perchè le prime sono -fondamentalmente- coppie di funzioni armoniche!
[Anche se poi, proprio coppie non sono, perchè hai un solo grado di libertà per sceglierle: infatti sai che la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa sono una l'armonica coniugata dell'altra... Perciò fissata la parte reale, ad esempio, il coefficiente dell'immaginario è univocamente determinato.]
La mia risposta affermativa era limitata alla teoria delle funzioni, è chiaro...
EDIT: Mi sono accorto ora che in effetti la domanda non riguardava l'analisi complessa. Scusate.
EDIT: Mi sono accorto ora che in effetti la domanda non riguardava l'analisi complessa. Scusate.
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