Limite un pò rognoso
Ciao a tutti, grazie per i vostri innumerevoli aiuto anzitutto 
Devo risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty } \left(\frac{x^2+x}{x^2+x+2}\right)^{x^4 \left(1-\cos\frac{2}{x}\right)} =\frac{1}{e^4} \)
dunque per prima cosa uso la formuletta
\(\displaystyle e^{log(x)} = x \)
e il limite notevole per risolvere il coseno. Per risolvere il logaritmo invece uso il confronto tra infiniti. Insomma alla fine ottengo:
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty } e^{2 x^2 \log \left(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\right)} \)
il problema è che il ln(1)=0 e mi trovo come forma indeterminata \(\displaystyle 0*\infty \) e sono bloccato. Qualcuno può aiutarmi? grazie mille
Devo risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty } \left(\frac{x^2+x}{x^2+x+2}\right)^{x^4 \left(1-\cos\frac{2}{x}\right)} =\frac{1}{e^4} \)
dunque per prima cosa uso la formuletta
\(\displaystyle e^{log(x)} = x \)
e il limite notevole per risolvere il coseno. Per risolvere il logaritmo invece uso il confronto tra infiniti. Insomma alla fine ottengo:
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty } e^{2 x^2 \log \left(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\right)} \)
il problema è che il ln(1)=0 e mi trovo come forma indeterminata \(\displaystyle 0*\infty \) e sono bloccato. Qualcuno può aiutarmi? grazie mille
Risposte
Ciao 
Osserva che:
$log( (1 + 1/x)/(1 + 1/x + 2/x^2)) = -log((1 + 1/x + 2/x^2)/(1 + 1/x)) = -log(1 + (2/x^2)/(1 + 1/x)) = -log(1 + 2/(x^2 + x)) ~ -log( 1 + 2/x^2)$
per $x->+oo$
Quindi:
$lim_{x->+oo} exp{-2x^2log( (1 + 1/x)/(1 + 1/x + 2/x^2)) }=lim_{x->+oo} exp{ -2x^2log(1 + 2/x^2)} =lim_{x->+oo} exp{-2*log( 1 + 2/x^2)/(1/x^2)} = ...$
Osserva che:
$log( (1 + 1/x)/(1 + 1/x + 2/x^2)) = -log((1 + 1/x + 2/x^2)/(1 + 1/x)) = -log(1 + (2/x^2)/(1 + 1/x)) = -log(1 + 2/(x^2 + x)) ~ -log( 1 + 2/x^2)$
per $x->+oo$
Quindi:
$lim_{x->+oo} exp{-2x^2log( (1 + 1/x)/(1 + 1/x + 2/x^2)) }=lim_{x->+oo} exp{ -2x^2log(1 + 2/x^2)} =lim_{x->+oo} exp{-2*log( 1 + 2/x^2)/(1/x^2)} = ...$
Ciao Shocker sei un grande! grazie per la tua illuminante risposta. Ho solo un piccolissimo dubbio. Quando hai fatto questa uguaglianza:
\(\displaystyle -\log (\frac{2}{x^2+x}+1) \sim -\log (\frac{2}{x^2}+1) \)
hai usato la parte principale di un infinito?
sei un grande! grazie per la tua illuminante risposta. Ho solo un piccolissimo dubbio. Quando hai fatto questa uguaglianza:\(\displaystyle -\log (\frac{2}{x^2+x}+1) \sim -\log (\frac{2}{x^2}+1) \)
hai usato la parte principale di un infinito?
Ciao ,
Inizio col scusarmi perché ho risposto di fretta e, mea culpa, ho complicato un pochino le cose:
È vero che $-log(1 + 2/(x^2 + x))$ \( \sim\) $-log(1 + 2/x^2)$, ma, più semplicemente(e qui la fretta mi ha fregato, scusa!), si sa che $log(1 + f(x))$ \( \sim \) $f(x)$ se $f(x) -> 0$ per $x->x_0$, con $x_0 in R uu {-oo,+oo}$(praticamente è la generalizzazione del famoso limite notevole $lim_{x->0} log(1+x)/x = 1$) .
Quindi $-log(1 + 2/(x^2 + x))$ \( \sim\) $2/(x^2 + x)$
Ti riferisci a $x^2 + x$? Perché sia $log(1+ 2/(x^2 + x))$ che $2/(x^2 + x)$ sono infinitesimi per $x->+oo$
Comunque, no, niente parte principale, ho notato che $ lim_{x->+oo} log(1 + 2/(x^2 +x))/log(1 + 2/x^2) = 1 $ e quindi ho scritto la la stima asintotica... Mi rendo conto che non è immediato, la fretta è cattiva consigliera. Mi scuso ancora con te.
Ciao
,Inizio col scusarmi perché ho risposto di fretta e, mea culpa, ho complicato un pochino le cose:
È vero che $-log(1 + 2/(x^2 + x))$ \( \sim\) $-log(1 + 2/x^2)$, ma, più semplicemente(e qui la fretta mi ha fregato, scusa!), si sa che $log(1 + f(x))$ \( \sim \) $f(x)$ se $f(x) -> 0$ per $x->x_0$, con $x_0 in R uu {-oo,+oo}$(praticamente è la generalizzazione del famoso limite notevole $lim_{x->0} log(1+x)/x = 1$) .
Quindi $-log(1 + 2/(x^2 + x))$ \( \sim\) $2/(x^2 + x)$
"Leonard89":
\(\displaystyle -\log (\frac{2}{x^2+x}+1) \sim -\log (\frac{2}{x^2}+1) \)
hai usato la parte principale di un infinito?
Ti riferisci a $x^2 + x$? Perché sia $log(1+ 2/(x^2 + x))$ che $2/(x^2 + x)$ sono infinitesimi per $x->+oo$
Comunque, no, niente parte principale, ho notato che $ lim_{x->+oo} log(1 + 2/(x^2 +x))/log(1 + 2/x^2) = 1 $ e quindi ho scritto la la stima asintotica... Mi rendo conto che non è immediato, la fretta è cattiva consigliera. Mi scuso ancora con te.
Ciao
alternativa
$ lim_(x -> infty)(1-2/(x^2+x+2))^(2x^2)=lim_(x -> infty)(1+1/(-(x^2+x+2)/2))^(2x^2)= $
$=lim_(x -> infty)(1+1/(-(x^2+x+2)/2))^(-(x^2+x+2)/2cdot2x^2cdot(-2/(x^2+x+2)) $
che è uguale ad
$ e^(lim_(x -> infty)(-4x^2)/(x^2+x+2))= e^(-4) $
$ lim_(x -> infty)(1-2/(x^2+x+2))^(2x^2)=lim_(x -> infty)(1+1/(-(x^2+x+2)/2))^(2x^2)= $
$=lim_(x -> infty)(1+1/(-(x^2+x+2)/2))^(-(x^2+x+2)/2cdot2x^2cdot(-2/(x^2+x+2)) $
che è uguale ad
$ e^(lim_(x -> infty)(-4x^2)/(x^2+x+2))= e^(-4) $
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