Limite Trigonometrico da risolvere con limiti notevoli... help...
Mi sto esercitando per l'esame.... manca poco...
Ho questo limite:
$lim_(x->0)((x^(3) sinx + cos^(2)x -1)/ (x^(2) cosx))$
Ora io l'ho scomposto in alcune parti... ad esempio la prima:
$((x^(3) sinx)/(x^(2) cosx))$ viene zero quini di inizia a scartare
Poi abbiamo un secondo pezzo che considero essere:
$((cos^(2)x)/(x^(2) cosx))$
Che modifico e semplifico così: (aggiungo e tolgo uno e poi inverto i segni, avanzerà un valore che riporto in seguito).
$ -((1 - cosx)/(x^(2)))$ che fa $ - 1/2$ quindi un primo pezzo di risultato da mettere via.
Ma da quanto sopra sempre in questa parte avanza ancora:
$ ((1)/(x^(2)))$ che allora aggrego all'ultimo pezzo che sarebbe: $ -((1)/(x^(2) cosx))$
facendo minimo comune denominatore ottengo:
$ ((cosx - 1)/(x^(2) cosx))$ forma indeterminata del tipo zero fratto zero.
Dopo due applicazioni di Hopital ottengo il risultato di $ - 1/2$ che sommato al precedente pezzettino mi da
$ - 1$ che in effetti è anche giusto.
Però siccome mi chiedono di usare i limiti notevoli che io uso solo una volta a metà esercizio... quello che mi domando è se non sto ignorando qualcosa di importante rendendo inutilmente lungo e laborioso l'esercizio....
Grazie!
Ho questo limite:
$lim_(x->0)((x^(3) sinx + cos^(2)x -1)/ (x^(2) cosx))$
Ora io l'ho scomposto in alcune parti... ad esempio la prima:
$((x^(3) sinx)/(x^(2) cosx))$ viene zero quini di inizia a scartare
Poi abbiamo un secondo pezzo che considero essere:
$((cos^(2)x)/(x^(2) cosx))$
Che modifico e semplifico così: (aggiungo e tolgo uno e poi inverto i segni, avanzerà un valore che riporto in seguito).
$ -((1 - cosx)/(x^(2)))$ che fa $ - 1/2$ quindi un primo pezzo di risultato da mettere via.
Ma da quanto sopra sempre in questa parte avanza ancora:
$ ((1)/(x^(2)))$ che allora aggrego all'ultimo pezzo che sarebbe: $ -((1)/(x^(2) cosx))$
facendo minimo comune denominatore ottengo:
$ ((cosx - 1)/(x^(2) cosx))$ forma indeterminata del tipo zero fratto zero.
Dopo due applicazioni di Hopital ottengo il risultato di $ - 1/2$ che sommato al precedente pezzettino mi da
$ - 1$ che in effetti è anche giusto.
Però siccome mi chiedono di usare i limiti notevoli che io uso solo una volta a metà esercizio... quello che mi domando è se non sto ignorando qualcosa di importante rendendo inutilmente lungo e laborioso l'esercizio....
Grazie!
Risposte
Ciao Legolas84,
Benvenuto sul forum!
Ti sei complicato un bel po' la vita, non serve usare de l'Hopital: basta che lo dividi in due pezzi e poi consideri che
$cos^2 x - 1 = -(1 - cos^2 x) = - (1 + cos x)(1 - cos x) $
Il risultato è $- 1$.
Benvenuto sul forum!
Ti sei complicato un bel po' la vita, non serve usare de l'Hopital: basta che lo dividi in due pezzi e poi consideri che
$cos^2 x - 1 = -(1 - cos^2 x) = - (1 + cos x)(1 - cos x) $
Il risultato è $- 1$.
"pilloeffe":
Ciao Legolas84,
Benvenuto sul forum!
Ti sei complicato un bel po' la vita, non serve usare de l'Hopital: basta che lo dividi in due pezzi e poi consideri che
$cos^2 x - 1 = -(1 - cos^2 x) = - (1 + cos x)(1 - cos x) $
Il risultato è $- 1$.
Ciao, scusa ma non capisco.. nel senso: mi ritroverei con...
$ (- ((1 + cos x)(1 - cos x))/(x^(2) cosx)) $
Come fa a fare -1?
$(xsinx -(sin^2x)/x^2)*1/cosx$
Non basta come utilizzo di limite notevole?
Non basta come utilizzo di limite notevole?
$ lim_{x \to 0}((x^(3) sinx + cos^(2)x -1)/ (x^(2) cosx)) = lim_{x \to 0} x tan x - lim_{x \to 0} (1 - cos^2 x)/(x^2 cos x) = $
$ = lim_{x \to 0} x tan x - lim_{x \to 0} (1 + cos x)(1 - cos x)/(x^2 cos x) = lim_{x \to 0} x tan x - lim_{x \to 0} (1 + cos x)/cos x \cdot lim_{x \to 0}(1 - cos x)/(x^2) = $
$ = 0 - 2 \cdot 1/2 = - 1 $
$ = lim_{x \to 0} x tan x - lim_{x \to 0} (1 + cos x)(1 - cos x)/(x^2 cos x) = lim_{x \to 0} x tan x - lim_{x \to 0} (1 + cos x)/cos x \cdot lim_{x \to 0}(1 - cos x)/(x^2) = $
$ = 0 - 2 \cdot 1/2 = - 1 $
Grazie ragazzi 
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