Limite tramite limiti notevoli.
Salve , ho un problema con questo limite :
$\lim_{x \to \0} (sin(2x) +4x)/(sin(4x)-8x)$
il limite è facilmente risolvibile con il teorema de l'Hôpital , il problema è che deve essere risolto utilizzando i limiti notevoli. Grazie.
$\lim_{x \to \0} (sin(2x) +4x)/(sin(4x)-8x)$
il limite è facilmente risolvibile con il teorema de l'Hôpital , il problema è che deve essere risolto utilizzando i limiti notevoli. Grazie.
Risposte
Ciao e benvenuto!
Suppongo (c'è una $n$ nella tendenza del limite) volessi scrivere
$$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}$$
Per risolverlo devi ricondurlo al limite notevole del seno: se $f(t)\to0$ per $t\to0$, risulta
$$\lim_{t\to0}\frac{\sin f(t)}{f(t)}=1$$
Quindi, per risolvere, basta moltiplicare e dividere opportunamente per ricondurti a questo limite notevole; in questo caso hai che $f_1(x)=2x$ ed $f_2(x)=4x$, entrambe tendono a $0$ per $x\to0$ e dunque possiamo applicarlo.
Lascio a te la risoluzione, scrivi tutti i calcoli ed esterna eventuali dubbi; almeno se dovesse essere corretto potremo confermartelo oppure potremo rivedere insieme i passaggi se c'è qualcosa che non va
"Giggino09":
$\lim_{n \to \0} (sin(2x) +4x)/(sin(4x)-8x)$
Suppongo (c'è una $n$ nella tendenza del limite) volessi scrivere
$$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}$$
Per risolverlo devi ricondurlo al limite notevole del seno: se $f(t)\to0$ per $t\to0$, risulta
$$\lim_{t\to0}\frac{\sin f(t)}{f(t)}=1$$
Quindi, per risolvere, basta moltiplicare e dividere opportunamente per ricondurti a questo limite notevole; in questo caso hai che $f_1(x)=2x$ ed $f_2(x)=4x$, entrambe tendono a $0$ per $x\to0$ e dunque possiamo applicarlo.
Lascio a te la risoluzione, scrivi tutti i calcoli ed esterna eventuali dubbi; almeno se dovesse essere corretto potremo confermartelo oppure potremo rivedere insieme i passaggi se c'è qualcosa che non va
Ciao , grazie per il suggerimento , ho usato durante i calcoli anche la formula di duplicazione e vorrei sapere se facendo così va bene oppure se ho sbagliato :
1) Formula di duplicazione :
$lim_{x\to0} (2sin(x)cos(x) + 4x) / (2(sin(x)cos(x))2(sin(x)cos(x))-8x)$
2) Ho messo in evidenza $2(sin(x)cos(x))$ :
$lim_{x\to0} (2sin(x)cos(x)(1+((2x)/(sin(x)cos(x))))) / (2sin(x)cos(x)(1+1-(4x)/(sin(x)cos(x)))$
3) Ho semplificato sopra e sotto :
$lim_{x\to0} (1+2((x)/(sin(x)))(1/cos(x))) / (1+1-4(x/sin(x))(1/cos(x)))$
4) Alla fine , sostituendo i valori dei limiti notevoli e lo zero alle x , il risultato è : $-3/2$
1) Formula di duplicazione :
$lim_{x\to0} (2sin(x)cos(x) + 4x) / (2(sin(x)cos(x))2(sin(x)cos(x))-8x)$
2) Ho messo in evidenza $2(sin(x)cos(x))$ :
$lim_{x\to0} (2sin(x)cos(x)(1+((2x)/(sin(x)cos(x))))) / (2sin(x)cos(x)(1+1-(4x)/(sin(x)cos(x)))$
3) Ho semplificato sopra e sotto :
$lim_{x\to0} (1+2((x)/(sin(x)))(1/cos(x))) / (1+1-4(x/sin(x))(1/cos(x)))$
4) Alla fine , sostituendo i valori dei limiti notevoli e lo zero alle x , il risultato è : $-3/2$
Sì, vabbè, ma perché incasinarsi?
Dal limite notevole del seno sai che $sin x = x + text(o) (x)$ per $x -> 0$, dunque $sin 2x = 2x + text(o) (2x) = 2x + text(o)(x) $ e $sin 4x = 4x + text(o)(x)$ sempre per $x -> 0$; sostituendo nel limite iniziale ottieni $lim_(x -> 0) (6x + text(o)(x))/(-4x + text(o)(x)) = - 3/2$.
Dal limite notevole del seno sai che $sin x = x + text(o) (x)$ per $x -> 0$, dunque $sin 2x = 2x + text(o) (2x) = 2x + text(o)(x) $ e $sin 4x = 4x + text(o)(x)$ sempre per $x -> 0$; sostituendo nel limite iniziale ottieni $lim_(x -> 0) (6x + text(o)(x))/(-4x + text(o)(x)) = - 3/2$.
Prego! Anche il tuo svolgimento è corretto.
Oltre al procedimento alternativo suggerito da gugo82, potresti seguire la strada che ti dicevo prima visto che hai richiesto esplicitamente l'uso dei limiti notevoli: hai che
$$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}=\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x}2x+4x}{\frac{\sin(4x)}{4x}4x-8x}=\lim_{x\to0} \frac{2x\left(\frac{\sin(2x)}{2x}+2\right)}{4x\left(\frac{\sin(4x)}{4x}-2\right)}=\lim_{x\to0} \frac{1}{2} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x}+2}{\frac{\sin(4x)}{4x}-2}=\frac{1}{2} \left(\frac{1+2}{1-2}\right)=\frac{1}{2} \frac{3}{-1}=-\frac{3}{2}$$
Oltre al procedimento alternativo suggerito da gugo82, potresti seguire la strada che ti dicevo prima visto che hai richiesto esplicitamente l'uso dei limiti notevoli: hai che
$$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}=\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x}2x+4x}{\frac{\sin(4x)}{4x}4x-8x}=\lim_{x\to0} \frac{2x\left(\frac{\sin(2x)}{2x}+2\right)}{4x\left(\frac{\sin(4x)}{4x}-2\right)}=\lim_{x\to0} \frac{1}{2} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x}+2}{\frac{\sin(4x)}{4x}-2}=\frac{1}{2} \left(\frac{1+2}{1-2}\right)=\frac{1}{2} \frac{3}{-1}=-\frac{3}{2}$$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo