Limite tramite definizione
Ciao a tutti! Il mio prof. di analisi mi ha chiesto di dimostrare tramite la definizione di limite che il lim per (x,y)->(0,0) di 1/(x^2+y^2) è più infinito.
Calcolarlo "a macchinetta" mi riesce, ma se mi devo mettere a fare la dimostrazione, non so da dove partire.
Potreste darmi cortesemente una mano? Ho l'esame domani!!
Saluti
Calcolarlo "a macchinetta" mi riesce, ma se mi devo mettere a fare la dimostrazione, non so da dove partire.
Potreste darmi cortesemente una mano? Ho l'esame domani!!
Saluti
Risposte
La definizione, in questo caso, diventa:
Per ogni M esiste d : ||(x,y)|| f(x,y) > M
Se mi permetti scrivo la f cosi':
f(x)=1/||x||^2
Dove x e' un vettore di R^2.
Ora f(x) > M ==> M || x ||^2 < 1
Quindi || x ||^2 < 1/M = d^2 ==> d(M) = ( 1 / M )^(1/2)
Che e' cio' che si voleva dimostrare. (salvo errori nei conti).
Comunque l'idea generale e' questa:
1) Scrivi la definizione metrica (con gli epsilon e i delta) del limite (tanto sai gia' quanto deve valere questo limite)
2) Nella definizione c'e' il famoso pezzo per OGNI m esiste d. Non devi fare altro che trovare una espressione di d che faccia valere la definizione per ogni possibile m. (in pratica trovi d(m))
Per ogni M esiste d : ||(x,y)||
Se mi permetti scrivo la f cosi':
f(x)=1/||x||^2
Dove x e' un vettore di R^2.
Ora f(x) > M ==> M || x ||^2 < 1
Quindi || x ||^2 < 1/M = d^2 ==> d(M) = ( 1 / M )^(1/2)
Che e' cio' che si voleva dimostrare. (salvo errori nei conti).
Comunque l'idea generale e' questa:
1) Scrivi la definizione metrica (con gli epsilon e i delta) del limite (tanto sai gia' quanto deve valere questo limite)
2) Nella definizione c'e' il famoso pezzo per OGNI m esiste d. Non devi fare altro che trovare una espressione di d che faccia valere la definizione per ogni possibile m. (in pratica trovi d(m))
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