Limite tendente all'infinito con esponenziale

[rocco951]

Ciao a tutti...sto cercando di risolvere il seguente limite: $\lim_{x \to \+infty}x*e^(1/x)-x_$ che,se non erro, genera la forma indeterminata $ oo -oo $ ; qualcuno mi potrebbe aiutare a risolverlo? Posso riscrivere l'esponenziale sotto radice ed effettuare una razionalizzazione? Oppure ricorrere agli sviluppi di Taylor per risolverlo ? Grazie anticipatamente.

[pilloeffe]

Ciao rocco95,

Beh, ma è banalissimo, basta scriverlo così:

$ \lim_{x \to \+infty} x \cdot e^(1/x)-x = \lim_{x \to \+infty} x(e^(1/x) - 1) = \lim_{x \to \+infty} \frac{e^(1/x) - 1}{1/x} = 1 $

[rocco951]

Ciao pilloeffe, grazie per la risposta...so che il limite non è molto complicato ma essendo io alle prime armi con i limiti trovo qualche difficoltà nello svolgimento; in questo caso mi potresti spiegare quale tecnica hai adottato? Dai passaggi da te svolti, vedo che inizialmente hai messo in evidenza x e poi, anzichè considerare una moltiplicazione, hai adottato una frazione; e^1/x al tendere di x a +infinito non è pari a 1? Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Certamente. Ho fatto in modo di scriverlo nella forma del limite notevole

$\lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 $

Nel caso in esame $f(x) = 1/x \to 0 $ per $ x \to +\infty $

[rocco951]

Perfetto,grazie mille...immaginavo che avevi fatto ricorso ai limiti notevoli per la risoluzione. Ultima domanda: si potrebbe risolvere anche con lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale oppure no? Grazie.

[pilloeffe]

"rocco95":Perfetto,grazie mille...

Prego!
Certamente si potrebbe risolvere con lo sviluppo in serie della funzione $ e^{1/x} $considerando che si ha:

$e^{1/x} = 1 + 1/x + 1/(2x^2) + 1/(6x^3) + o(1/x^4) $

$e^{1/x} - 1 = 1/x + 1/(2x^2) + 1/(6x^3) + o(1/x^4) $

$\frac{e^{1/x} - 1}{1/x} = 1 + 1/(2x) + 1/(6x^2) + o(1/x^3) $

Quindi si ha:

$ lim_{x \to +\infty} \frac{e^{1/x} - 1}{1/x} = lim_{x \to +\infty} [1 + 1/(2x) + 1/(6x^2) + o(1/x^3)] = 1 $

Ma essendo il limite proposto così semplice, non vale neanche la pena tirare in ballo gli sviluppi in serie...

[rocco951]

Grazie mille davvero...mi sei stato molto d'aiuto.