Limite tendente a zero

[Cardyx]

Ciao a tutti ragazzi, venerdì ho l'orale dell'esame di Analisi 1 , nell'esame mi è capitato questo esercizio che non sono riuscito a risolvere. Volevo sapere se c'è qualcuno in grado di spiegarmi passo passo come fare!
$ lim_(x -> 0) (ln(1+cosx)(e^x-1-x)^2)/(ln(1-3sinx)(x-sinx)) $
Ho intuito che bisogna lavorare con i limiti notevoli e cercare di incastrare in qualche modo i limiti notevoli che riguardano il sinx, il cosx e il logaritmo, però praticamente non riesco a trovare nessun modo per riuscirci.
Utilizzando un risolutore online sono riuscito a ricavare il risultato che è
$ -ln2/2 $
Grazie a tutti anticipatamente,
-Marco

[marco.ceccarelli]

Ci sono 2 modi per risolvere quest'esercizio. Il 1° è usare De L'Hopital, ma te lo sconsiglio perché troppo laborioso in questo caso. Il 2° è usare Taylor. Calcola per ognuna delle sottofunzioni il suo sviluppo in serie di Taylor, almeno fino al 5° ordine.

[francicko]

Calcolando ed usando gli asintotici possiamo scrivere in modo equivalente $lim_(x->0)(log2)×(e^x-1-x)^2/(3x×(x-sinx))$ applicando lo sviluppo il serie di taylor avremo: $=lim_(x->0)(log2)×((1+x+x^2/2+o(x^3)-1-x)^2)/(3x×(x-x^3/6+o(x^4))) $ $=lim_(x->0)(log2)×(x^4/4)/(-x^3/6×3x)=$ $=lim_(x->0)

(log2)×(x^4/4)×(2/(-x^4))=-log2/2$
che e' il risultato che hai ottenuto con il risolutore online, l'utilizzo di taylor si rende necessario perche' compaiono differenze di infinitesimi, dove vengono coinvolti termini successivi al primo, d'altronde l'uso del teorema del marchese Come giustamente detto da @Bubbino1993 comporta una lungaggini nei calcoli ,
spero che lo svolgimento del limite sia chiaro!

[Cardyx]

Grazie mille ad entrambi! Ora ho capito bene come fare!!