Limite. Taylor o no?

[Benz]

salve, ho difficoltà su questo limite..

essendo calcolato in un intorno di 0, per le mie conoscenze è possibile semplificare con taylor. Però così facendo non torna quanto dovrebbe tornare, ovvero 1/3.

Wolfram alpha mi fa usare 4/5 volte l'hopital, ma immagino che esista una soluzione più veloce dato che questo è un esercizio da fare in un test (con altri 9 esercizi) da fare in un'ora.

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Il link al limite è il seguente..http://i41.tinypic.com/9td311.jpg

purtroppo col telefono ho avuto problemi a postare l'immagine..

[ciampax]

Benz: l'immagine è troppo grande, il link non è corretto. Potresti, per cortesia, usare il latex per scrivere?

[Benz]

scusami Ciampax..problema con il telefono..ora dovrebbe vedersi senza problemi..

[ciampax]

Bene, Dunque, sì, io direi che a numeratore ti serva proprio Taylor e ti dirò di più, almeno al terzo ordine (lo puoi capire dal denominatore: perché?).

[Benz]

bhe perchè abbiamo una funzione al terzo grado..comunque ho scomposto tutto fino al terzo ordine di taylor, ma il risultato non cambia..continuo ad avere un +INF...quando invece il risultato dovrebbe essere 1/3..

[ciampax]

Bene, allora vediamo un po': al numeratore si ha

[math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/math]

[math]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)[/math]

[math]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/math]

e quindi

[math]N=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\ -x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x^2=\frac{x^3/3}+o(x^3)[/math]

mentre a denominatore abbiamo

[math]\log^3(1+x)=x^3+o(x^3)[/math]

Pertanto il tuo limite diventa

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^3/3}{x^3}=\frac{1}{3}[/math]

[Benz]

Eh..ora capisco..io scomponevo il logaritmo fino al terzo grado di taylor..invece è al primo e poi si eleva alla terza...