Limite sviluppo di Taylor

[19xx]

Ho un ulteriore dubbio riguardante lo sviluppo di Taylor. In particolare, non mi viene questo limite:

$ lim_(x -> 1) (x^(1/(1-x))-e^-x)/(x-1) $

Il mio ragionamento:

Ponendo y=1-x si ha:
$ lim_(y -> 0) ((1-y)^(1/(y))-e^(y-1))/-y $ $ =lim_(y -> 0)(e^(log(1-y)/y)-e^(y-1))/-y =$
$ =lim_(y -> 0)(e^((-y-y^2/2+o(y^2))/y)-1-y+1+o(y))/-y =$
$= lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y))-y+o(y))/-y= $ $ lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y)))/-y+1+(o(y))/y =$
$=lim_(y -> 0)(-y/2+o(y))/-y+1=3/2 $

Ma il risultato del libro è $ 3/(2e) $
Cosa sbaglio?

[Mephlip]

"19xx":$lim_(y -> 0)(e^(log(1-y)/y)-e^(y-1))/-y =$
$ =lim_(y -> 0)(e^((-y-y^2/2+o(y^2))/y)-1-y+1+o(y))/-y $

Cos'è successo qui? A me risulta $-e^{y-1}=-e^{-1}e^{y}=-e^{-1}(1+y+\text{o}(y))$, non capisco da dove è spuntato fuori quel $+1$ dopo.
Ricorda che $e^{f(x)}=1+f(x)+\frac{f(x)^2}{2}+...$ solo se $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$, con $x_0$ intendo il punto a cui tende la variabile nel limite.

Edit: Forse ho capito, hai per caso sviluppato $-e^{y-1}$ come $-(1+(y-1)+...)$? Se sì non è corretto, il motivo l'ho scritto prima nell'ultima riga.
L'errore si ripresenta anche qui:

"19xx":$ lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y)))/-y+1+(o(y))/y =lim_(y -> 0)(-y/2+o(y))/-y+1$

In quanto $-1-\frac{y}{2}$ non tende a $0$ per $y\to 0$.

[19xx]

Sì, è esattamente quello che ho fatto, senza pensarci neanche su
Ti ringrazio per avermi fatto notare l'errore.
Tuttavia il limite non mi viene ugualmente
Si giunge a questa forma:
$ lim_(y -> 0)(e^-1(e^(-y/2+o(y))-1-y+o(y)))/-y $
il cui limite è 1/e...

[Mephlip]

Prego! Non mi pare che quel limite sia $\frac{1}{e}$, rifai i conti con più attenzione

[19xx]

Oddio, ho capito dove sbagliavo! Grazie mille ancora!

[pilloeffe]

Ciao 19xx,

Per il limite proposto avrei fatto uso dello sviluppo in serie solo verso la fine:

$ \lim_{x \to 1} (x^(1/(1-x))-e^-x)/(x-1) = \lim_{x \to 1} (e^{(ln x)/(1 - x)} - e^-x)/(x-1) $

A questo punto, posto $t := x - 1 \implies x = 1 + t $ si ha:

$ \lim_{x \to 1} (x^(1/(1-x))-e^-x)/(x-1) = \lim_{x \to 1} (e^{(ln x)/(1 - x)} - e^-x)/(x-1) = \lim_{t \to 0} (e^{-(ln(1 + t))/t} - e^{-(t + 1)})/t = 1/e \cdot \lim_{t \to 0} (e^{1-(ln(1 + t))/t} - e^{- t})/t = $
$ = 1/e \cdot \lim_{t \to 0} (e^{1-(ln(1 + t))/t} - 1 - (e^{- t} - 1))/t = 1/e \cdot \lim_{t \to 0} [(e^{1-(ln(1 + t))/t} - 1)/t + (e^{- t} - 1)/(-t)] = $
$ = 1/e \cdot \lim_{t \to 0} [(e^{1-(ln(1 + t))/t} - 1)/(1-(ln(1 + t))/t) \cdot (1-(ln(1 + t))/t)/t + (e^{- t} - 1)/(-t)] = $
$ = 1/e \cdot \lim_{t \to 0} [(e^{1-(ln(1 + t))/t} - 1)/(1-(ln(1 + t))/t) \cdot (t - ln(1 + t))/t^2 + (e^{- t} - 1)/(-t)] = 1/e \cdot [1 \cdot 1/2 + 1] = 3/(2e) $

[19xx]

Interessante svolgimento, a me una cosa del genere non sarebbe mai venuta in mente.
Ti ringrazio