Limite sviluppi di taylor
Ciao a tutti, chi mi aiuta con questo limite? $ lim (tan(x^2)-x^2)/ (x^2(x^2-sin^2(x))) $ per x che tende a 0
Risposte
Devi semplicemente sviluppare con taylor le funzioni $tan (x^2) $ e $sin^2 (x) $ ed eseguire i calcoli Dopodiche' se non sbaglio i calcoli dovresti avere $(x^6/9)/(-x^6/3)=-1/3$
Ho sviluppato tan(x^2) in $ x^2+x^6/3+o(x^6) $ e sen^2(x) in $ x^2-x^6/36+o(x^6) $
Quindi semplificando mi resta $ lim (x^6/3)/(-x^6/36) $
Il risultato dovrebbe essere 1
Quindi semplificando mi resta $ lim (x^6/3)/(-x^6/36) $
Il risultato dovrebbe essere 1
A numeratore ho sbagliato io e' giusto quello che ti resta $x^6/3$, a denominatore avrai $x^2×(x^2+(-x^2+x^4/3))=x^6/3$ quindi il risultato $(x^3/6)/(x^3/6)=1$, prova a controllare!
"francicko":
A numeratore ho sbagliato io e' giusto quello che ti resta $x^6/3$, a denominatore avrai $x^2×(x^2+(-x^2+x^4/3))=x^6/3$ quindi il risultato $(x^3/6)/(x^3/6)=1$, prova a controllare!
Non riesco a capire come fa a diventare $-x^2+x^4/3$ lo sviluppo di sen^2(x)
$sin^2 (x)=(x-x^3/6+o (x^4))×(x-x^3/6+o (x^4))=x^2+x×(-x^3/6)+o (x^4)=x^2-x^4/6+o (x^4)$,
avendo indicato con $o (x^4) $ tutti gli infinitesimi di ordine superiore al grado $4$ e pertanto trascurabili.
avendo indicato con $o (x^4) $ tutti gli infinitesimi di ordine superiore al grado $4$ e pertanto trascurabili.
Ok grazie mille!
Ho un altro limite che non riesco a capire $ lim (x^3(e^x-cosx))/(x^2-sen^2x) $
Praticamente dopo aver sviluppato ottengo al numeratore $ x^3(x+x^2+x^3/6) $ e al denominatore $ 1/3x^4 $
Il risultato è 3. Com'è possibile?
Praticamente dopo aver sviluppato ottengo al numeratore $ x^3(x+x^2+x^3/6) $ e al denominatore $ 1/3x^4 $
Il risultato è 3. Com'è possibile?
infatti al numeratore l'infinitesimo di ordine minore è $x^4$
praticamente hai $ lim_(x -> 0) (x^4+o(x^4))/(1/3x^4+o(x^4)) $
praticamente hai $ lim_(x -> 0) (x^4+o(x^4))/(1/3x^4+o(x^4)) $
ok,però come faccio a eliminare gli altri al numeratore?
Solitamente il risultato di $ x^3(x+x^2+x^3/6+o(x^4)) $ è $ x^4+x^5+x^6/6+o(x^7) $ o sbaglio?
Solitamente il risultato di $ x^3(x+x^2+x^3/6+o(x^4)) $ è $ x^4+x^5+x^6/6+o(x^7) $ o sbaglio?
Lo sviluppo che hai ottenuto e' esatto!
A numeratore come giustamente ha scritto @quantunquemente
l'infinitesimo di ordine minore e'$x^4$ tutti gli altri termini che si ottengono sono superiori al grado $4$ e possiamo trascurarli in quanto tendono a $0$ piu velocemente rispetto al termine di ordine minore su indicato, e li indicheremo con $o (x^4) $
a denominatore idem, il termine infinitesimo di grado minore che ottieni e $(1/3)x^4$ tutto il resto e' trascurabile e lo si indica con $o (x^4) $, pertanto avremo:
$lim_(x->0) (x^4+o (x^4))/((1/3)x^4+o (x^4))$ $=lim_(x->0)x^4/((1/3)x^4)=1/(1/3)=3$
Quindi i termini che hai scritto, e ti compaiono a numeratore $x^5$ , $x^6/6$, ecc. ecc. vengono racchiusi nel simbolo $o (x^4)$,
cosi anche a denominatore.
A numeratore come giustamente ha scritto @quantunquemente
l'infinitesimo di ordine minore e'$x^4$ tutti gli altri termini che si ottengono sono superiori al grado $4$ e possiamo trascurarli in quanto tendono a $0$ piu velocemente rispetto al termine di ordine minore su indicato, e li indicheremo con $o (x^4) $
a denominatore idem, il termine infinitesimo di grado minore che ottieni e $(1/3)x^4$ tutto il resto e' trascurabile e lo si indica con $o (x^4) $, pertanto avremo:
$lim_(x->0) (x^4+o (x^4))/((1/3)x^4+o (x^4))$ $=lim_(x->0)x^4/((1/3)x^4)=1/(1/3)=3$
Quindi i termini che hai scritto, e ti compaiono a numeratore $x^5$ , $x^6/6$, ecc. ecc. vengono racchiusi nel simbolo $o (x^4)$,
cosi anche a denominatore.
ok,quindi l' opiccolo non viene moltiplicato per la x? Perché in diversi esercizi svolti viene fatto..
Potreste darmi una mano anche con questo? Sto impazzendo per cercare di risolverlo $ lim ((2+x)^(4/3)-2^(4/3)*e^(2/3x))/(x*senx) $
Qui gli asintotici che equivalgono allo sviluppo sino al primo termine in $x $ dello sviluppo in serie di taylor non sono sufficienti, bisogna prolungare lo sviluppo almeno sino al termine di secondo grado $x^2$;
$(2+x)^(4/3)=2root(3)(2)+4/3xroot(3)(2)+1/9x^2root(3)(2) +o (x^2)$
$(e^(2x))^(1/3)=1+2x/3+2x^2/9+o (x^2)$
Prova a sostituire a numeratore i su indicati sviluppi, per il denominatore puoi sostituire ad $xsinx $ il termine asintotico $x^2$, ed se hai svolto bene i calcoli dovresti ottenere $lim_(x->0)(-3x^2root (3)(2)/(9x^2))=-root(3)(2)/3$.
$(2+x)^(4/3)=2root(3)(2)+4/3xroot(3)(2)+1/9x^2root(3)(2) +o (x^2)$
$(e^(2x))^(1/3)=1+2x/3+2x^2/9+o (x^2)$
Prova a sostituire a numeratore i su indicati sviluppi, per il denominatore puoi sostituire ad $xsinx $ il termine asintotico $x^2$, ed se hai svolto bene i calcoli dovresti ottenere $lim_(x->0)(-3x^2root (3)(2)/(9x^2))=-root(3)(2)/3$.
Per favore potresti spiegarmi come si sviluppa (2+x)^4/3?
Certamente, usando la formula del polinomio di taylor nel punto $x=0$, che in questo caso prende il nome si Mclaurin, si ha:
$f(x)=f(0)+f^1(0)x+f^2(0)/2x^2+f^3(0)/(3!)x^3+......+f^(n)(0)/(n!)$
Nel nostro caso dobbiamo calcolare le derivate di $(2+x)^(4/3) $ sino al secondo ordine per ottenere lo sviluppo che ci serve;
$f (0)=(2+0)^(4/3)=2^(4/3)=2root(3)(2) $,
essendo $f^1(x)=(4/3)(2+x)^(4/3-1)=(4/3)(2+x)^(1/3)$, avremo quindi:
$f^1(0)=(4/3)(2+0)^(1/3)=(4/3)root(3)(2)$;
$f^2(x)=(-2/3)(4/3)(2+x)^(-2/3)$ avremo quindi:
$f^2 (0)=(1/3)(4/3)(2)^(-2/3)=(4/9)×1/(root (3)(4))=(2/9)root (3)(2)$
, avendo razionalizzato;
sostituendo avrai lo sviluppo precedentemente affermato.
N.B per lo sviluppo in serie di $e^(2/3x)$ puoi ottenerlo facilmente sapendo che si ha $e^(f (x))=1+f (x)+(f(x))^2/2+...+(f (x))^n/(n!) $
$f(x)=f(0)+f^1(0)x+f^2(0)/2x^2+f^3(0)/(3!)x^3+......+f^(n)(0)/(n!)$
Nel nostro caso dobbiamo calcolare le derivate di $(2+x)^(4/3) $ sino al secondo ordine per ottenere lo sviluppo che ci serve;
$f (0)=(2+0)^(4/3)=2^(4/3)=2root(3)(2) $,
essendo $f^1(x)=(4/3)(2+x)^(4/3-1)=(4/3)(2+x)^(1/3)$, avremo quindi:
$f^1(0)=(4/3)(2+0)^(1/3)=(4/3)root(3)(2)$;
$f^2(x)=(-2/3)(4/3)(2+x)^(-2/3)$ avremo quindi:
$f^2 (0)=(1/3)(4/3)(2)^(-2/3)=(4/9)×1/(root (3)(4))=(2/9)root (3)(2)$
, avendo razionalizzato;
sostituendo avrai lo sviluppo precedentemente affermato.
N.B per lo sviluppo in serie di $e^(2/3x)$ puoi ottenerlo facilmente sapendo che si ha $e^(f (x))=1+f (x)+(f(x))^2/2+...+(f (x))^n/(n!) $
Io avevo pensato di scriverlo come (1+(1+x))^4/3 per poi usare lo sviluppo $(1+x)^(alpha)$
è sbagliato?
è sbagliato?
Non e' sbagliato, ti pongo adesso io una domanda, ai fini del calcolo dove sta il vantaggio nel scriverlo nella forma che hai indicato?
Non so se ci sono vantaggi, ma sono abituato a risolvere questo tipo di esercizi con la tavola degli sviluppi delle funzioni elementari
Come ho postato in precedenza sviluppare la funzione proposta
in serie di taylor e' semplice, non e' difficile calcolare le derivate successive in $0$, e ricavare i coefficienti del polinomio;
Comunque se proprio vuoi usare la formula dello sviluppo generale come$(1+x)^(alpha)=1+alphax+alpha(alpha-1)/2x^2+....+(alpha(alpha-2)×.....×(alpha-n+1))/(n!)+o(x^n) $
,allora devi usare la formula
$(a+x)^(alpha)=a^(alpha)+a^(alpha-1)alphax+a^(alpha-2)alpha(alpha-1)x^2/2+.....+a^(alpha-n)(alpha(alpha-1)(alpha-2)×...+(alpha+n-1))/(n!)x^n+o (x^n)$
con $a $ $in $ $R $ , ed $alpha $ $in $ $R $.
Ritornando al nostro caso avremo $a=2$, ed $alpha=4/3$, $n=2$,
pertanto lo sviluppo sara':
$(2+x)^(4/3)$$=2^(4/3)+2^(4/3-1)(4/3)x+2^(4/3-2)(4/3)(4/3-1)/2x^2+o (x^2) $
$ =2^(4/3)+2^(1/3)(4/3)x+2^(-2/3)(4/3)(1/3)/2x^2+o (x^2) $
$=2root(3)(2)+4/(3root(3)(2))+4/(9root (3)(4))x^2+o (x^2) $
$=2root (3)(2)+4/(3root (3)(2))+1/9root (3)(2)+o (x^2)$
in serie di taylor e' semplice, non e' difficile calcolare le derivate successive in $0$, e ricavare i coefficienti del polinomio;
Comunque se proprio vuoi usare la formula dello sviluppo generale come$(1+x)^(alpha)=1+alphax+alpha(alpha-1)/2x^2+....+(alpha(alpha-2)×.....×(alpha-n+1))/(n!)+o(x^n) $
,allora devi usare la formula
$(a+x)^(alpha)=a^(alpha)+a^(alpha-1)alphax+a^(alpha-2)alpha(alpha-1)x^2/2+.....+a^(alpha-n)(alpha(alpha-1)(alpha-2)×...+(alpha+n-1))/(n!)x^n+o (x^n)$
con $a $ $in $ $R $ , ed $alpha $ $in $ $R $.
Ritornando al nostro caso avremo $a=2$, ed $alpha=4/3$, $n=2$,
pertanto lo sviluppo sara':
$(2+x)^(4/3)$$=2^(4/3)+2^(4/3-1)(4/3)x+2^(4/3-2)(4/3)(4/3-1)/2x^2+o (x^2) $
$ =2^(4/3)+2^(1/3)(4/3)x+2^(-2/3)(4/3)(1/3)/2x^2+o (x^2) $
$=2root(3)(2)+4/(3root(3)(2))+4/(9root (3)(4))x^2+o (x^2) $
$=2root (3)(2)+4/(3root (3)(2))+1/9root (3)(2)+o (x^2)$
"francicko":
Come ho postato in precedenza sviluppare la funzione proposta
in serie di taylor e' semplice, non e' difficile calcolare le derivate successive in $0$, e ricavare i coefficienti del polinomio;
Comunque se proprio vuoi usare la formula dello sviluppo generale come$(1+x)^(alpha)=1+alphax+alpha(alpha-1)/2x^2+....+(alpha(alpha-2)×.....×(alpha-n+1))/(n!)+o(x^n) $
,allora devi usare la formula
$(a+x)^(alpha)=a^(alpha)+a^(alpha-1)alphax+a^(alpha-2)alpha(alpha-1)x^2/2+.....+a^(alpha-n)(alpha(alpha-1)(alpha-2)×...+(alpha+n-1))/(n!)x^n+o (x^n)$
con $a $ $in $ $R $ , ed $alpha $ $in $ $R $.
Ritornando al nostro caso avremo $a=2$, ed $alpha=4/3$, $n=2$,
pertanto lo sviluppo sara':
$(2+x)^(4/3)$$=2^(4/3)+2^(4/3-1)(4/3)x+2^(4/3-2)(4/3)(4/3-1)/2x^2+o (x^2) $
$ =2^(4/3)+2^(1/3)(4/3)x+2^(-2/3)(4/3)(1/3)/2x^2+o (x^2) $
$=2root(3)(2)+4/(3root(3)(2))+4/(9root (3)(4))x^2+o (x^2) $
$=2root (3)(2)+4/(3root (3)(2))+1/9root (3)(2)+o (x^2)$
Grazie mille! Troppo gentile!
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